Akkurat nå er 328 pålogget.

Matematikk

løse en vanskelig grenseverdi oppgave

17. oktober 2016 av skullskillz - Nivå: Universitet

Hei!

Jeg trenger hjelp med å løse denne oppgaven:

\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)tan(\frac{\pi }{2}x)


Brukbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2016 av Janhaa

skriv som:

lim   tan(pi*x/2) / (1 / (x-1))

x->1


Brukbart svar (0)

Svar #2
17. oktober 2016 av Janhaa

og bruk L'Hopitals rule, da fås: -2/pi


Svar #3
17. oktober 2016 av skullskillz

Vil man ikke få at nevneren går måt 0 når du deriverer teller og nevner for seg? og en brøk med 0 i nevner går jo mot uendelig? Ser ikke hvordan du fikk -2/pi


Brukbart svar (0)

Svar #4
17. oktober 2016 av Janhaa

deriverer teller og nevner hver for seg og  får:

lim   (cos(pi*x) - 1) / pi =  -2/pi

x->1


Brukbart svar (1)

Svar #5
18. oktober 2016 av Kjemilærer

\left ( x-1 \right )\tan \left ( \frac{\pi }{2}x \right )= \frac{\left ( x-1 \right )\sin \left ( \frac{\\pi }{2} x\right )}{\cos \left ( \frac{\pi }{2}x \right )}

→0 over 0. Deriverer teller og nevner hver for seg, teller går mot 1 og nevner går mot -π/2.

D.v.s. at funksjonen går mot -2/π ≈ -0,6366 som ser ut til å stemme dersom du tegner grafen.


Brukbart svar (0)

Svar #6
18. oktober 2016 av Janhaa

#5

\left ( x-1 \right )\tan \left ( \frac{\pi }{2}x \right )= \frac{\left ( x-1 \right )\sin \left ( \frac{\\pi }{2} x\right )}{\cos \left ( \frac{\pi }{2}x \right )}

→0 over 0. Deriverer teller og nevner hver for seg, teller går mot 1 og nevner går mot -π/2.

D.v.s. at funksjonen går mot -2/π ≈ -0,6366 som ser ut til å stemme dersom du tegner grafen.

Det du har omformet og skrevet er ikke "0/0" uttrykk. Men 0/1 = 0, som er feil.

Fordi sin(0) = 0 og cos(0) = 1


Brukbart svar (0)

Svar #7
18. oktober 2016 av Sigurd

Men husk at x->1, ikke mot null. Så da blir det (1-1)*sin(pi/2)=0 i teller og cos(pi/2) = 0 i nevner, og L'Hopital bør gå fint på Kjemilærers uttrykk. :)

Jeg forsøkte også med tan(x pi/2) i teller og 1/(x-1) i nevner, men da fikk jeg bare "uendelig/uendelig" på nytt og på nytt.


Brukbart svar (0)

Svar #8
18. oktober 2016 av Janhaa

#7

Men husk at x->1, ikke mot null. Så da blir det (1-1)*sin(pi/2)=0 i teller og cos(pi/2) = 0 i nevner, og L'Hopital bør gå fint på Kjemilærers uttrykk. :)

Jeg forsøkte også med tan(x pi/2) i teller og 1/(x-1) i nevner, men da fikk jeg bare "uendelig/uendelig" på nytt og på nytt.

jepp, du har rett i det, men uendelig/uendelig => også L'Hopital's rule

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 00, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.


Brukbart svar (0)

Svar #9
18. oktober 2016 av Sigurd

Absolutt! Men jeg får en tilsynelatende uendelig kjede av ∞/∞... 
Kjemilærers smarte knep løste det med én derivasjon. :-)


Brukbart svar (0)

Svar #10
19. oktober 2016 av Janhaa

Enig der.


Skriv et svar til: løse en vanskelig grenseverdi oppgave

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.