Akkurat nå er 256 pålogget.

Fysikk

Bevaring av mekanisk energi

03. september kl. 14:49 av mattenøtta - Nivå: Vgs

Hei!

Når vi bruker bevaringsloven for mekanisk energi, altså E1 = E2, finner man jo at massen til legemet er ubetydelig for beregningene vha. av denne formelen. Kan noen si hva dette forteller? Klarer ikke helt sette ord på det selv :/

Kan noen også fortelle meg hvorfor vi går ut ifra definisjonen for kinetisk energi når vi utleder arbeid-energi-setningen, og hvorfor ikke den potensielle energien her blir regnet med?

Jeg lurer også på hvordan vi kan se at farten er den deriverte av posisjonen med hensyn på tida t når vi ser på definisjonen av derivasjon av en funksjon?

Hjelper veldig mye om dere kunne gitt meg noen svar, om det bare er på ett eller alle av spørsmålene mine! :)


Brukbart svar (0)

Svar #1
03. september kl. 17:58 av Sigurd

Hei.

Det er riktig at i bevaring av mekanisk energi er likningen uavhengig av masse. Det betyr derimot ikke at energien i hvert punkt er uavhengig av masse. For å regne ut E1 og E2 (hver for seg), må du kjenne massen. Men sammenhengen mellom dem er uavhengig.

\newline\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2 \newline \frac{1}{2}v_1^2 + gh_1 = \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2

Jeg vet ikke om jeg kan gi noen veldig god forklaring på hva dette forteller, men det er i alle fall veldig nyttig i beregninger. Da får vi nemlig at hvis et legeme endrer høyde/fart (uten at arbeid tilføres), vil høyden/farten endres på en slik måte at vi kan beregne den - selv om vi ikke kjenner massen.

____

Jeg antar arbeid-energi-setningen er at endringen i kinetisk energi er lik (alle krefters) arbeid. Du kan tenke på kinetisk energi som en energi som ligger lagret i massen selv, det vil si uavhengig av hvor den befinner seg. Om noe beveger seg med en bestemt fart, enten det er i det ytre rom eller på jorda, vil det ha samme kinetiske energi. Den potensielle energien derimot, skyldes en ytre kraft/omgivelsene – tyngdekraften. Om legemet befinner seg i det ytre rom, vil den ikke ha noe potensiell energi, men når den kommer nærme jorda, vil den ha det.

Vi sier at tyngdekraften gjør arbeid, og faktisk er den potensielle energien akkurat det samme som arbeidet tyngdekraften kan gjøre på massen (når den faller). Potensiell energi er arbeid som potensielt sett kan utføres av en ytre kraft. På tilsvarende måte har vi potensiell energi når en pil er spent i en bue, en fjær er dyttet sammen, eller når en ladning befinner seg i et elektrisk felt. Her er det buen, fjæren og feltet som gjør arbeid. Dermed er det naturlig å skille ut dette, og generelt si at endringen i kinetisk energi (massens egne egenskap) tilsvarer arbeidet påvirket av andre krefter (tyngde, elektrisk felt, fjær, folk og dyr sin egenskap)

____

La oss huske på hvordan vi definerer gjennomsnittsfart:

\Delta v = \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}

Det vil si, endringen i strekning delt på endring i tid mellom to tidspunkt t og t0.

Men som vi vet, kan farten endre seg mye i løpet av denne tiden. F.eks. kan en bil kjøre veldig fort i starten, deretter ta en lang rast hvor den står i ro, og så kjøre veldig fort igjen. Da får den en "middels høy" gjennomsnittsfart, selv om den nesten aldri kjører i akkuratt denne farten. Derfor er vi ofte opptatt av den "øyeblikkelige" farten.

Hva er farten akkurat nå. Ikke gjennomsnittet mellom t og t0, men farten akkurat i t0. Da bruker vi samme definisjonen som i gjennomsnittsfart, men vi lar t og t0 være veldig nære hverandre. Vi måler endringen i posisjon i to tidspunkt så fort at bilen ikke rekker å endre farten noe særlig. Hvis vi er så raske som det overhoet er mulig å være (og måler begge tidspunktene praktisk talt med en gang), får vi en grenseverdi. Vi lar forskjellen i tidspunktene t og t0 gå mot null:

v = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}

Men denne grenseverdien er PER DEFINISJON det samme som den deriverte. Den deriverte er definert som endringen i funksjonsverdi delt på endringen i funksjonens variabel når endringen går mot null. Kanskje har du sett denne definisjonen:

f'(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Men hvis du ser litt etter, er dette akkurat det samme som jeg skrev over. Hvis vi lar h være det samme som endringen i tid. Da er t-t0,t0 og x+h t. Så det at farten er den deriverte av strekningen følger rett fra definisjonen av derivasjon (og forsåvidt hvordan vi har definert fart).

v(t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} = s'(t_0)

Du har kanskje lært derivasjonsregler, som f.eks. at hvis f(x) = xn, så er f'(x) = nxn-1. Dette er regler som kan utledes fra definisjonen over, som gjør det raskere å regne. Men vi kan også bruke definisjonen over til å regne ut den deriverte direkte - uten snarveger.

_____

Jeg håper dette ga litt svar på spørsmålene dine. Hvis ikke må du bare spørre igjen. :-)


Svar #2
03. september kl. 18:15 av mattenøtta

Tusen takk for svar! Det hjalp veldig :)


Skriv et svar til: Bevaring av mekanisk energi

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.