Akkurat nå er 63 pålogget.

ABC-formel

I dette avsnittet skal vi demonstrere ABC-formelen. Du bruker en ABC-formel når du skal regne ut andregradslikninger. Mer spesifikt handler det om å finne løsninger for x. 

ABC-formelen

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\]

Man kan bruke ABC-formelen som den er definert her.

Men for å gjøre det litt mer oversiktlig, kan man dele ABC-formelen opp i to mindre deler. ABC-formelen er en komplisert formel med mange ledd, og det er derfor fort gjort å gjøre feil underveis. Samtidig kan man faktisk få mange opplysninger om andregradslikningen og dens løsninger ved å dele formelen opp i to deler. 

Det leddet som man tar kvadratroten av i formelen ovenfor defineres nemlig som diskriminanten D, og den kan betegnes som den første halvdelen av formelen.

Diskriminanten for en andregradslikning er definert som: 

\(D = b^2 – 4ac\)

Som man kan se inngår diskriminanten som en del av ABC-formelen, og er viktig når man skal regne ut andregradslikninger.

En diskriminant er en hjelpestørrelse, og er rent praktisk et skritt på veien for å kunne finne løsningene for x. Derfor er diskriminanten D viktig. Kun på bakgrunn av størrelsen på D kan man avgjøre følgende om antallet løsninger for x:

  • Hvis \(D > 0\) er det to løsninger
  • Hvis \(D = 0\) er det en løsning
  • Hvis \(D < 0\) er det ingen reelle løsninger. 

Når man deler opp ABC-formelen på denne måten finner man diskriminanten først og vet dermed antallet løsninger. Deretter kan man sette D inn i den andre halvdelen av ABC-formelen, som ser slik ut:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Mer om diskriminanten

Man kan lage et par ekstra grunnleggende regler for diskriminanten D, slik at man kjapt kan avgjøre om D er positiv eller negativ. Vi kan se at leddet ’\(b^2\)’ alltid kommer til å være positiv. 

  • Det kan også sees at hvis a gange c er negativ \(a \cdot c < 0\) blir det siste leddet \(’-4ac\)’ positiv. I det tilfellet er diskriminanten D positiv og det finnes to løsninger for x.
     
  • Hvis a og c derimot har samme fortegn (enten pluss eller minus) blir det andre leddet, ’\(-4ac\)’, negativt. Er b også et lite tall er det sannsynlig at diskriminanten blir mindre enn null når du regner ut, og derfor er det ingen reelle løsninger for x. Det skyldes at man ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall.
     
  • Hvis de to leddene er like store er \(D = 0\) og det er kun en løsning. 

Men det er kun halvdelen av utregningen.

Løsningene finnes først når D settes inn i andre halvdel av ABC-formelen, som nevnt tidligere:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}\)

Løsning av en andregradsligning med ABC-formel

La oss se på noen eksempler som kan bidra til å øke forståelsen for diskriminanten, og hvordan man kan bruke den og ABC-formelen i forhold til antallet av løsninger.

Eksempel 1

En andregradslikning ser slik ut:

\(8x^2 - 9x +1 = 0\)

\(a = 8, b = -9\) og \(c = 1\)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

  \(x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 – 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{9 \pm \sqrt{(81 – 32}}{16}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{16}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{9 \pm 7}{16}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Løsningene er: \(x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Eksempel 2

En annen andregradslikning ser slik ut:

\(3x^2 - 6x + 3 = 0\)

\(a = 3, b = -6\) og \(c = 3\)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

  \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{6 \pm \sqrt{(36 – 36}}{6}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{6}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{6 \pm 0}{6}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 1\)

Eksempel 3

Enda en andregradslikning ser slik ut:

\(5x^2 - 7x + 4 = 0\)

\(a = 5, b = -7\) og \(c = 4\)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

  \(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{7 \pm \sqrt{(49 – 80}}{10}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{7 \pm \sqrt{-31}}{10}\)

Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall (-31) og derfor er det ingen reelle løsninger for x. 

Løsning av en andregradsligning med diskriminanten

I eksempel 4-6 benytter v i de samme andregradslikningene som i eksempel 1-3.

Eksempel 4

\(8x^2 - 9x +1 = 0\)

\(a = 8, b = -9\) og \(c = 1\)

Først regner man ut diskriminanten ved hjelp av formelen: \(D = b^2 – 4ac\):

\(D = (-9)^2 –  4 \cdot 8 \cdot 1 \Rightarrow D = 81 – 32 \Rightarrow D = 49\)

Diskriminanten er positiv og det betyr at det er to løsninger, definert ved \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\):

\(x = \frac{-(-9) \pm \sqrt 49}{2 \cdot 8} \Rightarrow x = \frac{9 ± 7}{16} \Rightarrow x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Løsningerne: \(x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Eksempel 5

\(3x^2 - 6x + 3 = 0\)

\(a = 3, b = -6\) og \(c = 3\)

Først regner man ut diskriminanten ved hjelp av formelen:

\(D = (-6)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 3 \Rightarrow D = 36 – 36 \Rightarrow D = 0\)

Diskriminanten er 0 og det er kun en løsning. 

Når D = 0, går leddet \(\pm \sqrt {D}\) ut. Formelen for den ene løsningen ser slik ut:

\[x = \frac{-b}{2a}\]

\(x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 3} \Rightarrow x = \frac{6}{6} \Rightarrow x = 1\)

Løsningen: \(x = 1\)

Eksempel 6

\(5x^2 - 7x + 4 = 0\)

\(a = 5, b = -7\) og \(c = 4\)

Først regner man ut diskriminanten ved bruk av formelen:

\(D = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 4 \Rightarrow D = 49 – 80 \Rightarrow D = -31\)

Diskriminanten er negativ og dermed er det ingen reelle løsninger for x. 

For flere eksempler på utregninger av en andregradsligning ved beregning av diskriminant, se artiklene om andregradspolynom og parabel