Akkurat nå er 15 pålogget.

Parabel

En parabel er en geometrisk figur som er symmetrisk rundt et toppunkt, som enten er maksimum eller minimum. 

Den grafiske fremstillingen minner om en munn som enten er sur eller glad. En sur munn kalles for en konkav parabel og en glad munn kalles for en konveks parabel.

Parabelkurver forekommer ofte og opptrer for eksempel ved kastebevegelser. Banekurven for en gjenstand som kastes skrått (f.eks. en kule) er tilnærmet uttrykt med en parabel, derav navnet kasteparabel. 

For eksempel i sporten kulestøt vil det ene skjæringspunktet være der kulen treffer jorden (x-aksen). Det andre skjæringspunktet vil være hvis kulestøteren kaster kulen bakover (teoretisk). Toppunktet er det høyeste stedet kulen befinner seg, og er det maksimum som parabelen er symmetrisk rundt. 

Nedenunder kan du se et eksempel på en kasteparabel med formelen:

\(f(x) = -0,05x^2 + x + 1,88\)

Som man kan lese av grafen ville kulestøteren i dette eksempelet ha støtet ca. 22 meter, og på toppunktet ville kulen vært mer enn 6 meter over jorden. 

Den grafiske fremstillingen sees ofte som et uttrykk for en funksjon av et andregradspolynom, som ovenfor. Derfor er en parabel og et andregradspolynom knyttet tett sammen. Likningen til en parabel er derfor et andregradspolynom: 

\(y = ax^2 + bx + c\)

\(a ≠ 0\), hvis a = 0 er det ikke et andregradspolynom, da ville det kun vært et uttrykk for stigningen til linjen (link). 

x er den ukjente (opphøyd i opp til andre potens)

a, b og c er reelle konstanter og kalles for koeffisienter. Husk at a alltid er koeffisienten til \(x^2\), b er alltid foran x, og c er kun en konstant. 

Funksjonsregelen for et andregradspolynom som samtidig er en parabelformel er:

\(p(x) = ax^2 + bx + c\)

En annen utgave av en parabel

En parabel med minimum som toppunkt kan se ut som eksempelet nedenfor:

Man kan si utrolig mye om en parabel så lenge man vet funksjonen og koeffisientene. Det gjelder nemlig en hel del grunnregler om en parabel - se artikkelen om andregradspolynomer for en gjennomgang av de generelle betingelsene. 

Når man jobber med en parabel kan det være interessant å finne eventuelle skjæringspunkter med x-aksen og toppunkter. En parabel har alltid et toppunkt som skjærer x-aksen enten 0, 1 eller 2 ganger. 

Eksempel

Som eksempel kan de nøyaktige verdiene for kulestøtet regnes ut med funksjonen:

\(f(x) = -0,05x^2 + x + 1,88\)

Man regner ut skjæringen med x-aksen ved å sette \(f(x) = 0\), altså nullpunktene. 

\(-0,05x^2 + x + 1,88 = 0\)

\((a= -0,05, b = 1 \)og \(c = 1,88)\).

Dette svarer til en andregradslikning og løses ved hjelp av ABC-formelen.

Først skal man finne D, det gjør man på følgende måte:

  \(D = b^2 – 4ac\)
\(\Downarrow\)
  \(D = 1^2 – 4 \cdot (-0,05) \cdot 1,88\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 1 + 0,376\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 1,376\)

Fordi  \(D > 0\) er det to skjæringspunkt med x-aksen. 

  \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)
\(\Downarrow\)
  \(x = \frac{-1 \pm \sqrt {1,376}}{2 \cdot (-0,05)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{-1 \pm 1,17}{-0,1}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -1,73\) eller \(x = 21,73\)

Punktene \((x_1,y\)) og (\(x_2,y)\) for skjæringen med x-aksen er derfor: (-1, 73;0) og (21,73;0).

Dermed kan vi konkludere med at lengden på kulestøtet er 21,73 meter. 

For å finne kulestøtets toppunkt kan man bruke toppunktsformelen, se artikkelen andregradspolynom hvis du er usikker. Før toppunktet er kulens kurve stigende så faller den etter toppunktet. 

x-koordinatene er definert som: 

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-1}{2 \cdot (-0,05)} ⇒ x = 10\)

y-koordinatene er definert som:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-1,376}{4 \cdot (-0,05)} ⇒ y = 6,88\)

Toppunktet for denne kasteparabelen er dermed: (10;6, 88).

Det vil si at etter akkurat 10 meter når kulen toppunktet, og er 6,88 meter over jorden. 

Parabel gjennom tre punkter

Hvis man i et tilfelle ikke vet funksjonen til en parabel, kan man regne den ut hvis man vet 3 punkter på parabel-buen. De tre punktene kalles for \((x_1,y_1), (x_2,y_2)\) og \((x_3,y_3)\). Man kan gjøre det på to måter. 

Enten kan man løse tre likninger med tre ukjente:

\(y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c\)

\(y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c\)

\(y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c\)

Eller man kan bare sette inn de tre koordinatene rett inn i denne formelen, men da må du være veldig oppmerksom:

\[y = \frac{(x - x_2)(x -  x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} \cdot y_1 + \frac{(x - x_1)(x -  x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} \cdot y_2​ + \frac{(x - x_1)(x -  x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)} \cdot y_3\]