Akkurat nå er 256 pålogget.

Derivasjon

Ordet derivasjon kommer fra latin og betyr å avlede eller utlede. Når en matematisk funksjon beskriver hvordan et gitt fenomen forandrer seg over tid, er den deriverte funksjonen et uttrykk for hvor hurtig denne forandringen skjer på et gitt punkt. Den deriverte til en funksjon er grunnbegrepet i differensialregning. Differensialregning er en måte å analysere og beregne ulike fenomeners forandring eller dynamikk. Forandringen kan være bevegelse eller akselerasjon, eller utvikling og vekst.

Hva er derivasjon?

I matematikk er derivasjon en operasjon hvor man bestemmer den deriverte av en funksjon. Den deriverte er et mål for endringen i funksjonsverdier. Studiet av derivasjon og differensialer kalles differensialregning. Differensialregning handler om å beskrive funksjoner. I de fleste tilfeller tar denne beskrivelsen form av en ny funksjon, som vi kaller den deriverte av en funksjon. En derivert funksjon forteller hvor meget den originale funksjonen stiger eller avtar i ett bestemt punkt.

Deriverbarhet

Deriverbarhet er en viktig egenskap i differensialregning. Det er den som avgjør om man kan derivere en funksjon eller ikke. Hvis en funksjon kan deriveres, kaller vi den deriverbar. Det første som kreves for at en funksjon skal være deriverbar, er at den er kontinuerlig. Det innebærer at den ikke har noen hopp. Se artikkelen (link) Kontinuitet.

Det andre som kreves for at en funksjon skal være deriverbar, er at den ikke har noen knekk. Funksjonen skal altså være rett og ikke plutselig skifte retning. Hellingen av tangenten til funksjonens graf må bare gradvis skifte retning. Hvis funksjonen overholder disse to reglene, er den deriverbar.

Stigningstall

I differensialregning ønsker man å finne stigningen til funksjoner. Man fastsetter hvordan tangenten endrer seg i et bestemt punkt på en funksjon. Man starter med et punkt, \(x_0\) på funksjonens graf og finner ut hvor meget funksjonen stiger eller avtar hvis man går et lite stykke (h) frem. Hvis man har en funksjon f, er stigningstallet lik:

\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)

Vi bruker her tegnet \Delta (uttales delta) for å symbolisere stigningstallet.

Derivasjonsregler i differensialregning

Det finnes regneregler i differensialregning som gjør det relativt enkelt å derivere. I stedet for å gå gjennem tretrinnsmetoden hver gang vi vil derivere en funksjon, kan vi bruke en rekke generelle regler for å derivere stort sett alle slags funksjoner. Vi gjennomgår de viktigste av disse reglene i artikkelen Derivasjonsregler.

Optimalisering i derivasjon

Optimalisering i derivasjonsregning er en type oppgave som differensialregning er meget effektiv til å beregne. Det vil i de fleste tilfeller dreie seg om et problem hvor en matematisk betingelse som inneholder en eller flere variabler er gitt, og hvor man så skal finne den største eller minste verdien av en av variablene. Man kan løse dette problemet ved å definere betingelsen som en funksjon, og så finne dens ekstrema. Se eksempel 2.

Derivasjon eksempler

Eksempel 1

Gitt funksjonen f:

f(x) = x^3 - 2x^2 + x

Beskrivelse: figur1%20differentialregningforside
Graf over funksjonen f(x).

Vi deriverer f ved hjelp av regnereglene fra artikkelen Derivasjonsregler og får den deriverte funksjon:

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Beskrivelse: figur2%20differentialregningforside
Graf over funksjonen f(x) derivert, altså f'(x).

\(f'(x)\) viser altså hvor meget \(f(x)\) stiger eller avtar. Bemerk at \(f'(x)\) er negativ når \(f(x)\) avtar, og at \(f'(x)\) skjærer x-aksen (er lik null) der hvor \(f(x)\) skifter mellom å stige og å avta.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en optimeringsopgave. En virksomhet lager bokser, og skal designe en ny boks som kan inneholde én liter væske. Boksen er sylinder-formet. Virksomheten vil gjerne bruke så lite materiale som mulig, og de ønsker derfor å regne ut hvilken høyde og radius som gir det minste overflatearealet.

En liter er 1000 cm3 (kubikkcentimeter). Vi bruker formelen for en sylinders volum, \(\pi \cdot r^2 \cdot h\), og får følgende ligning:

\pi \cdot r^2 \cdot h = 1000

Overflatearealet har følgende formel:

Overflateareal = 2\cdot \pi \cdot r \cdot (r + h)

Vi skal altså finne det forholdet mellom radius( r ) og høyde ( h ) som gir det minste overflatearealet. For å kunne gjøre dette, er vi nødt til å ha en funksjon med kun én variabel.

Dette gjør vi ved å bruke ligningen for volumet, hvor vi kan isolere høyden (h).

h = \frac{1000}{\pi \cdot r^2}

Vi kan nå sette inn tusen over pi gange r i annen i stedet for h i formelen for overflateareal, og får da en funksjon vi kan bruke for å finne minimum:

f(r) = 2\cdot \pi \cdot r \cdot (r + \frac{1000}{\pi \cdot r^2}) = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \frac{2000}{r}

Først finner vi minimum:

Vi deriverer f(r):

f'(r) = 4 \cdot \pi \cdot r - \frac{2000}{r^2}

For å finne ekstrema, må vi finne punktet hvor \(f'(r)\) er null:

\newline f'(r) = 0 \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r - \frac{2000}{r^2} = 0 \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r = \frac{2000}{r^2} \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 2000 \newline \Updownarrow \newline r^3 = \frac{2000}{4 \cdot \pi} \newline \Updownarrow \newline r^3 = 159,15 \newline \Updownarrow \newline r = \sqrt[3]{159,15} = 5,42

For at dette skal være et minimum, må \(f'(r)\) være negativ før og positiv etter:

f'(5) = 4 \cdot \pi \cdot 5 - \frac{2000}{5^2} = -17,17

f'(6) = 4 \cdot \pi \cdot 6 - \frac{2000}{6^2} = 19,84

Altså er det minste overflatearealet ved en radius på r = 5,42 cm. Og da skal høyden være:

h = \frac{1000}{\pi \cdot 5,42^2} = 10,84

Ved hjelp av differensialregning kan man altså beregne at boksen bør ha en høyde på 10,84 cm og en radius på 5,42 cm. Dette gir det minste overflatearealet i forhold til volumet på en liter.