Akkurat nå er 72 pålogget.

Produktregelen

Produktregelen er en regel som benyttes i differensialregning. Den gjør det enklere å derivere en funksjon som er et produkt av to funksjoner. Dette gjøres ved å betrakte funksjonen som to funksjoner som ganges sammen.

Som eksempel kan vi se på en funksjon h(x), som er et produkt av de to funksjonene f og g:

h(x) = f(x)\cdot g(x)

Her kan man derivere funksjonen ved hjelp av produktregelen:

h'(x) = (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

For å finne den deriverte til denne sammensatte funksjonen, bruker vi produktregelen. Dette reduserer problemet til å finne den deriverte av elementære funksjoner. Vi deriverer produktet av de to funksjonene ved å ta den første deriverte og gange med den andre funksjonen. Så legger vi til den første funksjonen ganget med den andre deriverte.

Når er produkt er deriverbart, er det mange funksjoner som kan deles opp og som dermed lettere kan deriveres. La oss se på for eksempel følgende funksjon:

3x \cdot \ln(x)

Her kan man dele funksjonen opp i to funksjoner, \(3x\) og \(\ln(x)\). Disse er enkle å derivere hver for seg. Ved å bruke produktregelen, kan de deretter til slutt settes sammen.

Eksempel

Vi vil derivere en funksjon ved å bruke produktregelen.

h(x) = (4x^2+2x)\cdot5x^4

Vi har to ledd som vi kaller det første leddet: \(f(x) = 4x^2 + 2x\), og det andre leddet: \(g(x) = 5x^4\).

Først deriverer vi dem hver for seg:

\newline f(x) = 4x^2+2x \newline f'(x) = 8x + 2

\newline g(x) = 5x^4 \newline g'(x) = 20x^3

Så bruker vi produktregelen, som beskrevet ovenfor:

h'(x) = (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

\newline h'(x) = ((4x^2+2x)\cdot5x^4)' = \newline (8x + 2)\cdot 5x^4 + (4x^2+2x) \cdot 20x^3 = \newline 40x^5 + 10x^4 + 80x^5 + 40x^4 = \newline 120x^5 + 50x^4

Vår funksjon derivert ved hjelp av produktregelen er dermed:

h'(x) = 120x^5 + 50x^4