Akkurat nå er 24 pålogget.

Femkant - Pentagon

I geometri er en femkant en figur med fem sider og fem vinkler. En femkant er dermed en polygon med fem hjørner. En femkant kalles også en pentagon.


Femkant.

Vinkelsummen av en femkant er alltid 540 grader. Det vil si at hvis man måler alle vinklene i en femkant og legger dem sammen, vil summen alltid være 540°, uansett hvordan femkanten er oppbygget.

Definisjonen av en pentagon er med andre ord at den har fem sider og fem vinkler, og at vinkelsummen er 540°.

Regulær femkant

En regulær femkant er en femkant hvor alle sidene er like lange og alle vinklene like store.


Regulær femkant.

Fordi en femkants vinkelsum er 540°, vil alle vinklene i en regulær femkant være:

\frac{540^\circ}{5} = 108^\circ

Alle vinklene i en regulær femkant er 108 grader, og det er bare sidelengdene som kan variere. 

Omkretsen av en femkant beregnes ved å legge sammen summen av alle sidelengdene Hvis man for eksempel har en regulær femkant med sidelengde l, er omkretsen:

omkrets = 5 \cdot l

Man kan tegne en regulær femkant ved hjelp av vinklene. For å kunne tegne en femkant, må man naturligvis kjenne sidelengdene. I en regulær femkant vil disse være like. Når den første siden (for eksempel en vannrett linje, som på figuren over) er tegnet, måler man en vinkel på 108 grader på hver ende av denne siden (i samme retning, for eksempel oppover) og tegner så de to nye sidelengdene. Ut fra de to nye sidene kan man igjen måle opp to nye vinkler på 108 grader hver (igjen samme retning, innover). Hvis man har vært nøyaktig i utmålingene, møtes de to siste sidene i et punkt (toppunktet på figuren over) som igjen er 108 grader.

Areal av femkant

Hvis man har en regulær femkant med sidelengde l, kan arealet beregnes med følgende formel:

Areal = \frac{1}{4} \cdot \tan(\frac{540^\circ}{2 \cdot 5}) \cdot 5 \cdot l^2 = \frac{5}{4} \cdot \tan(54^\circ) \cdot l^2

Denne formelen kan utledes av den generelle formelen for areal av en regulær polygon, som du kan se i artikkelen Polygon.

Det finnes også en annen måte å beregne arealet av en regulær femkant. For å bruke denne fremgangsmåten, må man kjenne radius (R) i den regulære femkants omskrevne sirkel, og formelen ser slik ut:

Areal = \frac{5}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(72^\circ)

Det er viktig å være klar over at hvis femkanten ikke er regulær, så finnes det ikke noen fast formel til å beregne dens areal. I stedet deler man vanligvis opp femkanten to eller flere ganger for å få trekanter og firkanter som man så kan beregne arealet av. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Denne femkanten er regulær, og har en sidelengde på 8 (Beskrivelse: http://media.studieportalen.dk/files/webbooks/images/65/equations/LblejhqSZ7ehGIVWsgE7Mw==.gif = 8):


Eksempel på regulær femkant.

Det vil si at vi kan beregne arealet av femkanten med formelen for areal av regulære femkanter:

areal = \frac{5}{4} \cdot \tan(54^\circ) \cdot l^2 = \frac{5}{4} \cdot \tan(54^\circ) \cdot 8^2 = 110,11

Eksempel 2

Her har vi en irregulær femkant:


Eksempel på en irregulær femkant.

Denne femkanten er ikke regulær. Derfor er vi nødt til å dele den opp. En opplagt deling er i en firkant nederst og en trekant øverst.


Oppdeling av irregulær femkant i trekant og firkant.

Vi har altså et rektangel med høyde 8 og bredde 12, og en likebeint trekant hvor grunnlinjens lengde er 12, og høyden er 3.

For å finne femkantens areal finner man først arealet av firkanten, og så legger man det sammen med arealet av trekanten.

Vi benytter formelen for areal av rektangel (\(A = h \cdot g\)) og areal av en trekant (\(A = ½ \cdot h \cdot g\)).

\text{femkant areal = rektangel areal + trekant areal} = 8 \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 114

Dermed er arealet av femkanten, hvis målene er i cm, lik \(114 \; cm^2\).