Akkurat nå er 69 pålogget.

Sekskant - Heksagon

I geometri er en sekskant en figur som har seks sider og seks vinkler. Figuren kalles også heksagon eller hexagon. En sekskant er altså en polygon med seks hjørner.


Sekskant.

En sekskant har en vinkelsum på 720 grader. Hvis man finner vinklene på alle hjørnene i en sekskant og regner sammen summen av disse, får man alltid 720 grader.

Regulær sekskant

En regulær sekskant er en sekskant hvor alle sider er like lange og alle vinkler er like store.


Regulær Sekskant.

Fordi en sekskant har en vinkelsum på 720°, vil hver vinkel være:

\frac{720}{6} = 120$^\circ$

Dermed er alle de indre vinklene til en regulær heksagon 120°.

Fordi alle sidene er like lange, er det enkelt å regne ut omkretsen av en regulær sekskant. Omkretsen er lik seks ganger sidelengden l:

omkrets = 6 \cdot l

På samme måte som man kan innskrive et kvadrat i en sirkel, kan man også innskrive en regulær sekskant i en sirkel, fordi alle hjørnene er like langt vekk fra sentrum av den omskrevne sirkelen.

Areal av sekskant

Hvis sekskanten er regulær og har sidelengden l, kan man bruke følgende formel:

Areal = \frac{1}{4} \cdot \tan(\frac{720^\circ}{2 \cdot 6}) \cdot 6 \cdot l^2 = \frac{3}{2} \cdot \tan(60^\circ) \cdot l^2

Legg merke til at vinklene er i grader. Det finnes også en variant av denne formelen hvor vinklene er i radianer.

Det finnes ikke noen generell formel for arealet av en irregulær sekskant. Når sekskanten ikke er regulær blir det derfor litt mer innviklet å beregne arealet. Man er nødt til å dele den opp. Man kan for eksempel dele den i to eller flere trekanter og/eller firkanter. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Det første eksempelet er en regulær sekskant.


Regulær sekskant med sidelengde 7 og hver vinkel er 120 grader

Sekskanten har en sidelengde på 7. Vi kan bruke formelen for areal av sekskant:

Areal = \frac{3}{2} \cdot \tan(60^\circ) \cdot l^2 = \frac{3}{2} \cdot \tan(60^\circ) \cdot 7^2 = 127,31

Målt i cm er arealet av den regulære sekskanten derfor lik 127,31 cm^2.

Det er også enkelt å beregne omkretsen:

omkrets = 6 \cdot 7 = 42

Dermed er omkretsen av denne regulære sekskanten lik 42 cm.

Eksempel 2

Sekskanten i dette eksempelet er irregulær. Derfor er vi nødt til å dele den opp i firkanter/trekanter.


Irregulær sekskant.

Det er mange måter å dele opp denne sekskanten. Vi kunne for eksempel dele den i to trekanter og en firkant. Men vi ser at hvis vi deler den horisontalt på midten, vil begge firkantene (trapesene) være like store. Derfor behøver vi bare å gjøre én beregning.


Irregulær sekskant delt i to, med mål i cm.

Når man tegner en linje mellom A og B, får man en trapes med grunnlinje på 14 cm og høyde oppover på 6 cm. Det er samme høyde hvis man måler nedover, og samtidig er alle motstående vinkler (for eksempel \(\angle A\) og \(\angle B\)) like store. Når man deler opp horisontalt på midten, får man altså to like trapeser. Vi kan regne ut arealet av sekskanten ved å bruke formelen for areal av en trapes og gange det med 2:

areal = 2 \cdot trapes \; areal = 2 \cdot \left ( \frac{1}{2} \cdot (6 + 14) \cdot 6 \right ) = 120

Dermed er sekskantens areal lik 120 \(cm^2\).