Akkurat nå er 24 pålogget.

Areal av sirkel

Areal av en sirkel er et mål for hvor mye plass sirkelen fyller i det todimensjonale rommet. For trekanter og firkanter, og de fleste andre figurer i geometrien i planet, regnes arealet ut ved hjelp av sidelengdene. Fordi en sirkel ikke har noen sider, må vi altså regne ut arealet på en annen måte.

Det viser seg at akkurat som diameteren og omkretsen av en sirkel har et konstant forhold, er det også et forhold mellom radiusen og arealet. Se også artikkelen Omkretsen av en sirkel

Areal av sirkel regnes i kvadratmeter (kvadratcentimeter). Det betyr at arealet, i kvadratmeter, sier noe om hvor mange kvadrat, på én gange én meter, figuren fyller. Kvadraturen til en sirkel er et kvadrat som har samme areal som sirkelen.

Å regne ut sirkelens kvadratur for hånd er umulig på grunn av at forholdet mellom radiusen og arealet av sirkelen, altså tallet \(\pi\) (pi), er et spesielt tall som kalles et transcendent tall. Hvis vi kjenner \(\pi\) og radiusen til sirkelen er det likevel ikke noe problem å regne ut areal av sirkelen, og lage sirkelens kvadratur. 

Radiusen av en sirkel

Radiusen er lengden fra sentrum til periferien av sirkelen. I de fleste tilfeller vil vi kjenne radiusen til en gitt sirkel, siden sirkelen er definert ut i fra radiusen og sentrumet.


Radiusen av en sirkel.

Radiusen kan også måles med en linjal, som lengden av linjestykket fra sentrum og ut til hvilket som helst punkt på periferien.

Når vi kjenner radiusen, kan vi regne ut arealet av sirkelen. Arealet er tallet \(\pi\) ganger radiusen, r, opphøyd i andre (man kan også si radius kvadrert). Vi får altså denne formelen for areal av en sirkel:

areal = \pi \cdot r^2

Sirkelutsnitt

Et sirkelutsnitt er, som navnet tilsier, et «utsnitt» av en sirkel mellom to radiuslinjer. Et sirkelutsnitt kalles også en «sektor».


Sirkelutsnitt (sektor).

Størrelsen av et sirkelutsnitt er definert av vinkelen, θ (theta), mellom de to radiuslinjene. Lengden av periferien til et sirkelutsnitt kalles for buelengde. Buelengden, l, regnes ut ved:

l = r \cdot \theta \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

Areal av et sirkelutsnitt

Areal av et sirkelutsnitt regnes ut ved å gange radius, opphøyd i andre, med vinkelen, i radianer, og deretter dividere med to. Formelen for arealet av et sirkelutsnitt er altså:

areal = \frac{r^2 \cdot \theta \cdot \pi}{360^\circ}

Ved hjelp av denne formelen kan vi enkelt finne arealet av en halvsirkel. En halvsirkel er et sirkelutsnitt hvor de to radiuslinjestykkene ligger 180 grader fra hverandre (halvparten av hele vinkelsummen til sirkelen på 360 grader). Hvis man setter inn 180 grader i formelen over, får man 180/360, som er det samme som ½. Arealet av en halvsirkel med radius, r, er altså:

areal = \frac{r^2 \cdot \pi}{2}

Se eksempel 2 for ytterligere forklaring.

Sirkelsegment

Et sirkelsegment er et område av en sirkel mellom periferien og en korde i sirkelen. Et eksempel på et sirkelsegment er markert med rødt i figuren under:


Sirkelsegment.

En korde er en linje mellom to punkter på periferien.

Arealet av et sirkelsegment

Arealet av et sirkelsegment kan beregnes med følgende formel:

areal = \frac{r^2}{2} \cdot \left ( \frac{\theta\cdot\pi}{180} - \sin(\theta)\right )

Se eksempel 3 for ytterligere forklaring.

areal = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40,5

Sirkelring 

En sirkelring er et område avgrenset av to sirkler som har samme sentrum, men forskjellig radius. Se figuren under:


Sirkelring.

Hvis man kjenner radiusen av begge sirklene, R for den store og r for den minste, kan vi regne ut arealet av sirkelringen med denne formelen:

areal = \pi \cdot (R^2 - r^2)

Eksempel 1

I det første eksempelet har vi en sirkel med en radius på 9.


Eksempel sirkel med en radius på 9.

Vi regner ut areal av sirkelen:

areal = \pi \cdot 9^2 = \pi \cdot 81 = 254,47

Eksempel 2

I dette eksempelet har vi en sirkel med samme radius, men vi har laget et utsnitt mellom to radiuslinjer med en vinkel på 90 grader.


Sirkelutsnitt med en vinkel på 90 grader.

Så kan vi regne ut areal av sirkelutsnittet:

areal = \frac{9^2 \cdot 90^\circ \cdot \pi}{360^\circ} = \frac{81 \cdot \pi}{4} = \frac{254,47}{4} = 63,62

Eksempel 3

I det siste eksempelet har vi brukt sirkelutsnittet fra eksempel 2, og laget et sirkelsegment.


Sirkelsegment

Korden går mellom de to punktene hvor radiuslinjene treffer periferien. Igjen er det 90 grader mellom de to linjene. Vi bruker formelen for arealet av et sirkelsegment:

areal = \frac{9^2}{2} \cdot \left ( \frac{90^\circ \cdot \pi}{180^\circ} - \sin(90^\circ)\right ) = \frac{81}{2} \cdot \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ) = 40,5 \cdot 0,57 = 23,12

Som kontroll kan man beregne det området som er igjen av sirkelutsnittet (det området på figuren over, som ikke er skravert).

I dette tilfellet er det en rettvinklet trekant, som også er en likebeint trekant. Arealet av en trekant som er rettvinklet kan enkelt beregnes hvis man kjenner både høyden og grunnlinjen, h = 9 og g = 9. De settes inn i formelen for arealet av en trekant:

A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40,5

Summen av arealet av sirkelsegmentet, og arealet av trekanten, er: 23,12 + 40,5 = 63,62.

Som man ser er 63,62 arealet av hele sirkelutsnittet, akkurat som beregnet i eksempel 2.