Akkurat nå er 133 pålogget.

Likninger

I matematikk er en likning et uttrykk som inneholder et likhetstegn. Det engelske ordet for likning er equation.

Hva er en likning?

En likning er en matematisk formel som sier at to matematiske uttrykk er like store. Derfor inneholder likninger alltid et likhetstegn. En annen ting som kjennetegner likninger, er at de som regel inneholder en eller flere variabler.

En variabel er en betegnelse for en størrelse som kan ha skiftende verdier. I matematikk er en variabel et tall som kan varieres. Variabler har alltid et navn. Det mest brukte navnet er x, som vi kjenner godt fra funksjoner.

Det er ofte variablene i en likning som gjør den interessant.

Et eksempel på en likning:

5\cdot x = 25

Denne likningen sier at 5 ganger variabelen x er lik 25. Å løse denne likningen vil si at vi finner ut hvilken verdi x skal ha for at likningen skal være sann.

Hvis vi for eksempel sier at x er lik 1, kommer det til at stå at 5 ganger 1 er lik 25, noe som ikke er sant. Verdien av x er altså feil.

Husk at det alltid skal stå samme tall på hver side av et likhetstegn for at en likning skal være sann.

For å finne ut av hva x skal være, begynner vi med å isolere x. Det betyr at det bare står x på den ene siden av likhetstegnet.

Regler for likninger

Når vi isolerer, bruker vi de grunnleggende reglene for likhetstegn. Verdiene på hver side av likhetstegnet må være like store. Man kan gange, dividere, legge sammen og trekke fra i likningen, så lenge man gjør det samme på hver side av likhetstegnet.

For å isolere x må vi derfor fjerne 5-tallet som x er multiplisert med. Det gjør vi ved å dividere med 5 på begge sider av likhetstegnet.

På venstre side dividerer vi 5 med 5. Dette gir oss 1, og 1 x er det samme som x. For å følge reglene for likninger må vi også dividere den andre siden av likhetstegnet med 5. 25 dividert med 5 er lik 5:

\frac{5\cdot x}{5} = \frac{25}{5}

x= 5

Vi har nå funnet løsningen på likningen:  x = 5.

Denne likningen er ganske enkel å løse, men likninger kan se ut på mange forskjellige måter. Derfor er det også mange forskjellige fremgangsmåter for å løse dem.

Vi vil nå vise hvordan man løser andre typer likninger.

Likning med parentes

Under skal vi se på et eksempel på en likning hvor variabelen står inne i en parentes:

(x + 8) \cdot 3 = 30

Man løser denne likningen på samme måte som i det første eksempelet, ved å isolere x. Det første man må gjøre, er å fjerne 3-tallet som x er ganget med i parentesen. Det gjør vi ved å dele verdien på begge sider av likhetstegnet med 3:

\newline \frac{(x + 8) \cdot 3}{3} = \frac{30}{3} \newline \Updownarrow \newline (x + 8) = 10

Nå står det bare igjen en parentes på venstre side, og det betyr at vi kan fjerne den.

For å isolere x, må vi fjerne det 8-tallet som er lagt til på venstre side. Det gjør vi ved å trekke 8 fra på begge sidene av likhetstegnet:

x+ 8 - 8 = 10 - 8

x= 2

Løsningen på denne likningen er: x = 2.

Likning med potens

Likninger hvor der inngår potenser, kan løses ved å bruke en passende rot.

For eksempel:

4x^2 - 12 = 0

I denne likningen har vi variabelen x i annen potens.

Legg merke til at vi har null på høyre side av likhetstegnet. Ofte vil man få likninger presentert på denne måten, fordi det kan gjøre dem mere overskuelige.

Det første man må gjøre for å finne verdien på x, er å trekke 12-talllet over på høyre side:

4x^2 = 12

Når man legger 12 til på begge sider, forsvinner det negative 12-tallet på den venstre siden, og man sitter igjen med 12 på høyre side. Neste skritt er å dividere med 4 på begge sider:

\newline \frac{4x^2}{4} = \frac{12}{4} \newline \Updownarrow \newline x^2 = 3

Til sist tar vi kvadratroten på begge sider for å finne verdien av x:

x= \pm\sqrt{3} = \pm 1,732..

Løsningen på denne likningen er altså \(\pm\) kvadratroten av 3.

Likning for linje

Det finnes mange viktige likninger. En av de mest kjente er likningen for en rett linje, som har formelen y = ax + b.

En likning for en linje har to variabler. Dette betyr at når vi gir den ene variabelen en verdi, kan vi regne ut verdien av den andre.

For en linje gir man likningen en x-verdi og får en y-verdi tilbake, deretter kan man tegne punktet inn i et koordinatsystem.