Akkurat nå er 133 pålogget.

Potensregler

Potensregler finnes innenfor potensregning. Potensregning er et eget emne innenfor matematikk og potensregler er regneregler på linje med addisjon, substraksjon, multiplikasjon og divisjon.

En potens er et tall som ganges med seg selv et visst antall ganger. For eksempel kan regnestykket \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) i stedet stilles opp som en potens. 2 ganget med seg selv 4 ganger svarer til potensen \(2^4\).

\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)

Potens er bare en kortere måte å formulere slike multiplikasjoner på. Å regne med potens kalles også for potensopphøying. For eksempel kan man si at 2 er opphøyd i fjerde potens.

Slik stilles en potens opp:

\[x^n\]

\(x\) kalles for grunntallet, roten eller basen

\(n\) kalles for eksponenten eller potenseksponenten

Det kan også skrives som:

\[x^n = x \cdot x \cdot x \cdot … \cdot x\]

(x er gjentatt n ganger totalt)

Litt flere eksempler på hva en potens er:

\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)

\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)

Det vil si at 3 er grunntallet og 2 er eksponenten (tre i andre (potens)), samt at 5 er grunntallet og 3 er eksponenten (fem i tredje (potens)). Når det gjelder potensregler sier man ofte ‘x i n’te (potens)’.

Det er en lang rekke potensregler som er viktige å kunne. Kan man dem kan man spare mellomregninger og komme raskere frem til svaret. Først presenterer vi de generelle potensreglene, deretter forklares hver regel ved bruk av eksempler. Potensreglene ser slik ut:

Potensregneregler:

  1. \(a^n \cdot a^i = a^{(n+i)}\)
     
  2. \(\frac{a^n}{a^i} = a^{(n-i)}\)
     
  3. \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
     
  4. \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\) (Da må \(b ≠ 0\) fordi man ikke kan dele med 0)
     
  5. \((a^n)^i = a^{n \cdot i}\)
     
  6. \(a^{(-n)} = \frac{1}{a^n}\) (Da må \(a ≠ 0\) fordi man ikke kan dele med 0)
     
  7. \(a^0 = 1\) (hvor \(a ≠ 0\))
     
  8. \(a^{\frac{n}{i}} = \sqrt[i]{a^n}\)

Potensreglene er skisset enkelt med bokstaver ovenfor. For mer utdypende kommentarer og snakkeeksempler kan du se den tilhørende forklaringen nedenfor.

Legg merke til at man kan gå begge veier i forhold til likhetstegnet. Alle er forklart fra venstre mot høyre, men de kan også gå andre veien.

Eksempel 1

Når man skal gange to potenser med samme grunntall (a) opphøyd i ulike eksponenter (n og i), legges eksponentene sammen.

\(a^n \cdot a^i = a^{(n+i)}\)

\(7^2 \cdot 7^3 = 7^{2 + 3} = 7^5 = 16.807\)

Eksempel 2

Når man skal dele to potenser med samme grunntall (a) opphøyd i ulike eksponenter (n og i), trekkes eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

\(\frac{a^n}{a^i} = a^{(n-i)}\)

\(\frac{6^7}{6^4} = 6^{7 - 4} = 6^3 = 216\)

Eksempel 3

Når man skal gange to ulike grunntall (a og b) opphøyd i samme eksponent (n) kan eksponenten, ved hjelp av potensreglene, settes utenfor parantesen og de to grunntallene ganges sammen.

\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)

\(5^3 \cdot 8^3 = (5 \cdot 8)^3 = 40^3 = 64.000\)

Eksempel 4

Når man skal dele to tall med ulike grunntall (a og b) opphøyd i samme eksponent (n), kan eksponenten settes utenfor parantesen og de to grunntallene deles først. Om det deretter er et helt tall eller en brøk, er ikke avgjørende.

\(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\)

\(\frac{12^4}{3^4} = (\frac{12}{3})^4 = 4^4 = 256\)

\(\frac{13^5}{3^5} = (\frac{13}{3})^5 = 1.527,9547325\) 

Eksempel 5

Når man har en potens med (a) oppløftet i (n), som samtidig er et samlet grunntall (a^n) i en annen potens med en annen eksponent (i), ganges de to eksponentene (n og i) sammen.

\((a^n)^i = a^{n \cdot i}\)

\((11^2)^3 = 11^{(2  \cdot  3)} = 11^6 = 1.771.561\)

Eksempel 6

Når man har et grunntall (a) som er opphøyet i en negativ eksponent (-n), tilsvarer det å dele 1 med grunntallet i den positive eksponenten (n) når man bruker potensreglene.

\(a^{(-n)} = \frac{1}{a^n}\) \((a ≠ 0)\)

\(4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024} = 0,0009765625\)

Eksempel 7

Når man har et grunntall (a) opphøyet i eksponenten 0, gir det 1.

\(a^0 = 1\)

\(14^0 = 1\)

Eksempel 8

Når et grunntall er opphøyet i en brøk (n/i) tilsvarer det til å ta nevnerens (i’s) rot av grunntallet opphøyd i telleren (n).

\(a^{\frac{n}{i}} = \sqrt[i]{a^n}\)

Deretter ser vi at:

\(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}\)  

a opphøyd i en ½ tilsvarer kvadratroten av a.

\(289^{\frac{1}{2}} = \sqrt{289} = 17\)

Når eksponenten ikke er en ½, skrives det slik:

\(a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}\)

\(2^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{2^7} = \sqrt[4]{128} = 3,3635856610\)

(I alle eksempler med potensregler er resultatet gitt med 11 siffer)