Akkurat nå er 15 pålogget.

Potensregning

Potensregning handler om regning med potenser. Du kan lese mer om hva en potens er i artikkelen Potensregler.

En potensfunksjon er veldig vanlig innenfor potensregning i matematikk.

Potensfunksjon

Vi starter med å stille spørsmålet; hva er det en potensfunksjon uttrykker?

En potensfunksjon kan for eksempel uttrykke et objekts konstante akselerasjon, en måling av en vindmølles evne til å omsette vindenergi til elektrisitet, en pendels svingningstid eller tiden en dykker må være under vannet.

Kjennetegnet på en potensfunksjon er at de inneholder en potens. Definisjonen på en potensfunksjon ser slik ut:

\[F(x) = x^a\]

\(x\) er variabelen og grunntallet i potensen

\(a\) er eksponenten i potensen, \(a \in R\)

For potensfunksjonen defineres en definisjonsmengde som beskriver de lovlige verdiene av x, og en verdimengde. I denne artikkelen fokuseres det på potensfunksjoner der x er større enn 0, som grafisk alltid tegnes i 1. kvadrant. Definisjonsmengde og verdimengde kan angis på følgende måter:

\(Dm(f) = R_+\)

\(Vm(f) = R_+\)

Det er viktig å kunne gjenkjenne en potensfunksjon og skille den ut fra andre funksjoner. Dette kan være vanskelig fordi potensfunksjoner kan ha mange ulike utseende og minne om andre funksjonstyper.

Den grafiske fremstillingen av en potensfunksjon varierer og det kommer også an på formålet, hvordan man definerer x og dermed definisjonsmengden (du kan selv prøve å tegne \(g(x) = x^3\) og \(h(x) = x^4\), for å se hvordan de ser ut grafisk i et koordinatsystem).

For eksempel er en lineær funksjon (link) i prinsippet en potensfunksjon, fordi x er opphøyd i første potens.

Nedenfor kan du se en grafisk fremstilling av de viktigste potensfunksjonene:

Den lyseblå grafen (a =- 1) er en potensfunksjon: \(f_1(x) = x^{-1}\) eller \(f_1(x) = \frac{1}{x}\)

Den røde grafen (a = 2) er en potensfunksjon: \(f_2(x) = x^2\)

Den grønne grafen (a = 1) er en lineær funsjon : \(f_3(x) = x\)

Den blå grafen (a = ½) er en potensfunksjon: f\(f_4(x) = x^{\frac{1}{2}}\) eller \(f_4(x) = \sqrt{x}\)


Potensfunksjoner.

Formelen for en potensfunksjon er ganske enkel som definisjon. Det spesielle ved en potensfunksjon er at det grafiske bildet kan variere mye i utseende. Ikke kun i 1. kvadrant (kun positive delen av x og y aksen) som her, men i helhet.

Betydningen av a

Størrelsen på konstanten a har avgjørende betydning for hvordan grafen til en potensfunksjon ser ut.

\(a < 0\): nedtrappende potensfunksjon

\(0 < a < 1\): voksende potensfunksjon med nedtrappende helning

\(a > 1\): voksende potensfunksjon med stigende helning

\(a = 1\): Når a er lik med 1 er potensfunksjonen \(f(x) = b \cdot x\), og dermed uttrykk for en lineær funksjon.

\(a = 2\): Når a er lik med 2 er funksjonen et andregradspolynom, som avbildes som en parabel.

I resten av artikkelen er \(a = 2\) utelatt. Les mer om andregradspolynom og parabel og den grafiske fremstillingen av disse i Skolediskusjons matematikk regelbok.

En potensfunksjon er karakterisert videre ved å gå gjennom punktet (1,1).

Det er fordi at uansett hva 1 opphøyes i gir det alltid 1 \((1^{0,002} = 1\) og \(1^{487} = 1)\).

Derfor er \(f(1) = 1\), som vi også kan se i figuren ovenfor.

Potensutvikling

I en potensutvikling inngår det også en koeffisient (b) som ganges med potensen. Definisjonen på en potensutvilking ser slik ut:

\[F(x) = b \cdot x^a\]

Hvis \(b = 1\) er en potensutvikling en enkel potensfunksjon med formelen \(f(x) = x^a\).

En potensutvikling skiller seg altså kun fra en potensfunksjon ved at det ganges en konstant (b) på. Funksjonen og grafen utvikler seg som en følge av en potens.

De to begrepene potensfunksjon og potensutvikling brukes ofte som synonymer, fordi den praktiske forskjellen (forekomsten av b) er liten. I definisjonen er det derimot forskjell på de to funksjonstypene. Begrepet potensfunksjon kan brukes som en felles betegnelse.

Betydningen av a er den samme for både en potensfunksjon og en potensutvikling, men i en potensutvikling er det en konstant b, som har en viss betydning for den grafiske fremstillingen.

Betydningen av b i en potensutvikling

En potensutvikling er karakterisert ved å gå gjennom punktet (1,b). Som nevnt tidligere er 1 opphøyd i en eksponent alltid lik 1.

Derfor er \(f(1) = b \cdot 1 = b\).

Nedenfor kan du se de ulike typene av potensielle utviklinger:


Forskjellige potensutviklinger med betydningen av a.

Formlene for grafene ovenfor er:

Blå graf: \(b(x) = 12 \cdot x^{-1,23}\)

Grønn graf: \(g(x) = 0,5 \cdot x^{1,89}\)

Oransje graf: \(o(x) = 3 \cdot x^{0,47}\)

Rød graf: \(r(x) = 2 \cdot x^1\)

På den blå grafen for potensfunksjonen b(x) er \((1,12)\) et punkt. På grafen for g(x) er \((1; 0,5)\) et punkt, på o(x) er \((1,3)\) et punkt og til slutt på r(x) er \((1,2)\) et punkt.

Som vi kan se på den blå grafen der \(a < 0\) ligger den tett opp mot y-aksen ned mot origo (0,0) der den flater ut og deretter ligger tett på x-aksen. En potensutvikling med a større enn 0 krysser aldri noen av aksene og går heller ikke gjennom origo.

Den grønne grafen der \(a > 1\) er voksende og stigningen er økende. Den oransje grafen der \(0 < a < 1\) er voksende, men stigningen minsker og den flater ut. Den røde grafen der \(a = 1\) er en rett linje. Som vi kan se så går alle potensutviklinger der \(a > 0\) gjennom origo (0,0).

Toppunktsformel a og b

Når man ikke vet funksjonen til en potensutvikling kan den som oftest regnes ut. Det krever derimot at man har to punkter på den grafiske fremstillingen for potensutviklingen. De to punktene som grafen går igjennom har koordinatene \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), og a for funksjonen kan da regnes ut ved hjelp av formelen

\[a = \frac{\log(y_2)  -  \log(y_1)}{\log(x_2)  -  \log(x_1)}\]

Man kan deretter regne ut b ved hjelp av a og et punkt med følgende formel (du kan velge om du vil bruke \((x_1, y_1)\) eller \((x_2, y_2)\):

\[b = \frac{y_1}{x_1^a}\]

Etter en teoretisk gjennomgang er det på tide å se på noen eksempler for å få en bedre forståelse av potensfunksjoner. Først er det et par eksempler (1 og 2) der funksjonen er kjent og vi skal regne ut punkter. Deretter er det en utregning i eksempel 3 der vi skal finne funksjonen til en potensutvikling på bakgrunn av to punkter.

Eksempel 1

Vi tar utgangspunkt i en potensfunksjon \(f_1(x)\) som ser slik ut:

\(f_1(x) = x^{-1}\)

Finn funksjonsverdien for \(x = 0,50\) og \(x = 5\)?

\(f_1(0,50) = 0,50^{-1} \Leftrightarrow f_1(0,50) = 2\)

\(f_1(5) = 5^{-1} \Leftrightarrow f_1(5) = 0,2\)

Man vet at en funksjonsverdi der \(f_1(x) = 0,33333333\)

Find \(x\)?

Vi bruker en omskriving av formelen slik at: \(f_1(x) = \frac{1}{x}\)

\(\frac{1}{x} = 0,3333333 \Leftrightarrow x = \frac{1}{0,33333} \Leftrightarrow x = 3\)

Når man ser på grafen for \(f_1(x)\) øverst kan vi se at \((0,5;2)\), \((5;0,2)\) og \((3;0,33)\) er punkter på grafen.

Eksempel 2

En potensutvikling har formelen:

\(c(x) = 16,2 \cdot x^{-1,94}\)

Man får vite av formelen at et punkt på potensutviklingen er \((1;16,2)\), men på grafen nedenunder kan vi ikke se det punktet.

Finn funksjonsverdeine for \(x = 4\) og \(x = 10\)?

\(c(4) = 16,2 \cdot 4^{-1,94} \Leftrightarrow c(4) = 1,10031904831\)

\(c(10) = 16,2 \cdot 10^{-1,94} \Leftrightarrow c(10) = 0,18600088668 ≈ 0,19\)

På figuren er punktene på grafen avrundet til to desimaler.


Potensutviklingen \(c(x) = 16,2 \cdot x^{-1,94}\)

Som vi kan se på grafen er det enda en funksjonsverdi som med alle desimaler har verdien:

\(c(x) = 7,3773089597 ≈ 7,38\)

Finn x?

\(16,2 \cdot x^{-1,94} = 7,3773089597 \Leftrightarrow x^{-1,94} = 0,45538944195 \Leftrightarrow x = 1,5\)

Eksempel 3

Vi har fått følgende tallsett og vet at det er et uttrykk for en potensfunksjon/potensutvikling.

Nå skal vi finne funksjonen uttrykt som \(f(x) = b \cdot x^a\) ved å velge to vilkårlige punkter (de kan gjerne være i hver sin ende av tallsettet.

x 0 2 4 6 8 10 12 14 16
f(x) 0 6,86 72,43 287,49 764,57 1632,73 3034,80 5125,65 8070,89

Finn a og b i potensutvklingen

Vi velger punktene \((x_1,y_1) = (4; 72,43)\) og \((x_2,y_2) = (16;8070,89)\) for å bestemme a og b.

For å finne a setter vi inn punktene i toppunktsformelen:

\(a = \frac{log(8070,89)  –  log(72,43)}{log(16)  –  log(4)} \Leftrightarrow a = \frac{2,04700294305}{0,60205999132} \Leftrightarrow a = 3,39999829346 ≈ 3,40\)

Deretter kan man regne ut b ved hjelp av a og et punkt, for eksempel \((x_1,y_1)\): \((4; 72,43)\):

\(b = \frac{72,43}{4^{3,39999829346}} \Leftrightarrow b = 0,65000327097 ≈ 0,65\)

Formelen for denne potensutviklingen blir dermed: \(f(x) = 0,65 \cdot x^{3,40}\)

Hvis man har en mengde punkter og skal undersøke om de er uttrykk for en potensfunksjon så kan man tegne inn punktene i en graf og se om linjen er rett eller ikke. Jo mer det ligner på en rett linje desto mer sannsynlig er det at det er en potensfunksjon.

I forbindelse med potensfunksjon snakker man også gjerne om potensvekst.

Potensvekst

Potensvekst er et uttrykk som forbindes med potensfunksjon. En potensfunksjon/potensutvikling er som kjent definert som:

\(F(x) = b \cdot x^a\)

De generelle betingelsene for potensfunksjoner gjelder derfor også for potensvekst, men for potensvekst gjelder det også at

\(a > 0\)

Potensvekst har også følgende regler: Når x_0 ganges med en konstant k kan man gange f(x0) med potensen k^a. Formelen ser slik ut:

Formel for potensvekst

\[f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0)\]

Det kan også skrives som:

\(f(x_2) = k^a \cdot f(x_1)\)

Der \(x_2 > x_1\)

Der \(x_2 = x_1 \cdot  k\)

Vi starter med et enkelt eksempel for å illustrere formelen. En potensutvikling har følgende formel:

\(f(x) = 5x^3\)

\((a = 3\) og \(b = 5))\)

Funksjonsverdien for \((x_0 = 2)\):

\(f(2) = 5(2)^3 = 40\)

Gang \(x_0\) med konstanten \(k = 4\).

Funksjonsverdien til \(f(x_0 \cdot k)\):

\(f(8) = 5(8)^3 = 2560\)

Funksjonsverdien til \(f(8)\) kan også regnes ut ved å gange konstanten k opphøyd i eksponenten a med funksjonsverdien til \(f(x_0)\):

  \(f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0)\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(2 \cdot 4) = 4^3 \cdot 40\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(8) = 64 \cdot 40\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(8) = 2560\)

I stedet for å finne funksjonsverdien til \(f(x_0 \cdot k)\) kan man bare gange funksjonsverdien \(f(x_0)\) med \(k^a\). I noen tilfeller er det enklere.

Prosent-prosent-vekst

Potensvekst kan kalles for prosent-prosent-vekst. Dette er fordi potensvekst har den egenskapen at når x vokser med en viss prosent så stiger f(x) med en annen prosent samtidig.

For å kunne regne ut prosent-prosent-vekst skal man kunne formelen for potensutvikling eller, som minimum, ha regnet ut a.

La oss ta en nærmere kikk på potensutviklingen: \(s(x) = 3x^{0,75}\)

\((a = 0,75\))


Prosent-prosent-vekst

De grønne og oransje markeringene på grafen viser sammenhengen mellom potensvekst og prosent-prosent-vekst.

Først velger man to x-verdier \(x_3 = 20\) og \(x_4 = 40\).

Da kan vi se at x-verdien har blitt doblet fra 20 til 40.

\(x_3 \cdot k = x_4 \Leftrightarrow 20 \cdot k = 40 \Leftrightarrow k = \frac{40}{20} \Leftrightarrow k = 2\)

En fordobling fra 20 til 40 tilsvarer en prosentvis økning på:

\(\frac{40 – 20}{20} \cdot 100 \% = 100 \%\)

Det vil si at når \(x_3\) øker med 100 % fører det til en prosentvis stigning på s(x):

\(2^{0,75} = 1,6818\).

Vi trekker 1 fra potensveksten og ganger med 100 %:

\(1,6818  – 1 \cdot 100 \% = 68,18 \%\)

Potensvekst betyr dermed at når x stiger med 100 % stiger s(x) med 68,18 %.

Hvis det fremdeles er litt vanskelig å forstå kan vi illustrere det nedenfor.

Her tar vi utgangspunkt i funksjonsverdiene for \(x_3\) og \(x_4\) som tilsvarer en fordoblin på x-verdien.

\(s(20) = 3(20)^{0,75} = 28,37\)

\(s(40) = 3(40)^{0,75} = 47,72\)

Den prosentvise stigningen på funksjonsverdiene er dermed:

\(\frac{47,72 – 28,37}{28,37} \cdot 100 \% = 68,18 \%\)

For alle x-verdier er det slik at når x stiger med 100 % så stiger s(x) med 68,18 %.

Prøv selv å regne ut potensvekst/prosent-prosent-vekst for de blå markeringene på figuren der \(x_1 = 5\) og \(x_2 = 15\).