Akkurat nå er 97 pålogget.

Høyde og grunnlinje

Når man beregner rettvinklede og spesielt vilkårlige trekanter opererer man med de to geometriske størrelsene høyden og grunnlinjen. Høyden er den primære så vi ser på den først.

Høyden h i en trekant

Høyden h er en vinkelrett linje på trekantens sider som treffer den motstående vinkelen. Høyden skal ofte benyttes for å regne ut arealet til en vilkårlig trekant, men kan også være brukbar i andre tilfeller. Nedenfor er et eksempel på høyden for side b i en trekant.

A B C høyde h b c a
Vilkårlig trekant med eksempel på høyden h fra b (man kan også tegne høyde til a og c).

Høyden h kan være både en vinklelrett linje på grunnlinjen inne i trekanten, som alltid er tilfelle med spissvinklete trekanter, men høyden kan også være en vinkelrett linje utenfor selve trekanten. Det er tilfellet for to av høydene i en stumpvinklet trekant. Her forlenges den linjen man skal finne høyden fra, så man kan tegne inn en vinkelrett linje opp til vinkelen. Den høyden som treffer nettop den stumpe vinkelen ligger alltid inne i trekanten. Som vist på figuren er høyden til b utenfor trekanten.

A B C højde (b) b c a
En stumpvinklet trekant der høyden til b er utenfor trekanten.

I en rettvinklet trekant er høyden den samme som sidens lengde for de to hosliggende katetene til den rette vinkelen. Høyden h tegnes oftest som en tynn linje eller en stiplet linje der en liten kvadrat i hjørnet viser at den står vinkelrett på linjen.  

Beregning av høyden i en trekant

Beregning av høyden h i vilkårlige trekanter avhenger av hvilke opplysninger man har. Innen man begynner å beregne en høyde er det en god ide å kjenne til alle vinklene og sidene i trekanten. Deretter er det lurt å tegne trekanten på et papir der du skriver ned vinkler og sider, for å ha oversikt over trekanten. Tegningen trenger ikke å være \(100 \%\) presis.

I eksempelet nedenunder tegnes høyden for side b (\(h_b\)), og det dannes dermed en ny rettvinklet trekant (ABD):

a A B C b h D 46° 90° c,d = 4,3
Når høyden tegnes inn dannes det en ny rettvinklet trekant ABD der den motstående siden til vinkel D for enkelhetens skyld kalles side d (samme som c).  

I den nye trekanten ABD kjenner man to vinkler og en side. Høyden kan deretter beregnes med hjelp av sinussetningenene, fordi man kjenner to sider og en vinkel.

I trekant ABD er \(\angle D = 90°, d = 4,3\) cm og \(\angle A = 46°\). \(h_b\) er den motstående siden til \(\angle A\) i trekant ABD og \(h_b\) kan bestemmes med en sinussetningen.

  \(\frac{h_b}{\sin(A)} = \frac{d}{\sin(D)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{h_b}{\sin(46)} = \frac{4,3}{\sin(90)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(h_b = \frac{4,3\cdot\sin(46)}{\sin(90)}\)         (\(\sin(90) = 1\))
\(\Updownarrow\)
  \(h_b = 3,09\)

Dermed er høyden \(h_b  = 3,09\) cm

Grunnlinjen i en trekant

Grunnlinjen i en trekant kan være en hvilken som helst av trekantens kateter/sider. Dette gjelder både for rettvinklede og vilkårlige trekanter.

Grunnlinjen benyttes hovedsakelig i forbindelse med beregning av arealet av en trekant. I den forbindelsen utgjøres grunnlinjen av den kateten som har en høyde vinkelrett til den motsatte vinkelen. Grunnlinjen kommer til å bli utdypet mer i kapittelet om areal av trekanter.