Akkurat nå er 282 pålogget.

Omskrevne og innskrevne sirkel

Innenfor trigonometrien kan man tegne både den omskrevne og den innskrevne sirkel, gjeldende for alle trekanter. La oss se på dem hver for seg.

Den omskrevne sirkel

Den omskrevne sirkelen er som navnet antyder, en sirkel som kan tegnes rundt alle trekanter. Det gjelder både en rettvinklet trekant og de vilkårlige trekantene. Den omskrevne sirkelen er definert ved å tangere (berøre) alle trekantens tre vinkelspisser. Trekantens omskrevne sirkel finnes ved å tegne de tre midtnormalene for trekantens tre sidestykker (se kapittelet om midtnormal). De tre midtnormalene møtes i et skjæringspunkt som er sentrum for den omskrevne sirkelen.

Nedenfor kan du se et eksempel på den omskrevne sirkelen for trekant ABC:

A B C a c b
Den omskrevne sirkelen tegnet på bakgrunn av skjæringspunktet for de tre linjestykkenes midtnormaler. 

For den omskrevne sirkelen er radius \(r_o\) bestemt av:

\(r_o = \frac{abc}{4T}\)

\(a, b\) og \(c\) er sidelengdene i trekanten

\(T\) er trekantens areal, sjekk Herons formel og areal av trekant.

I en rettvinklet trekant er midtnormalenes skjæringspunkt og dermed sentrum for den omskrevne sirkel et punkt nøyaktig midt på hypotenusen. I rettvinklede trekanter er radius for den omskrevne sirkelen derfor:

\(r_o = ½c\)

For eksempel er en rettvinklet trekant med katetene \(a = 3, b = 4\) og hypotenus \(c = 5\)

\(r = ½ \cdot 5 \Leftrightarrow r = 2,5\)

Den innskrevne sirkelen

Den innskrevne sirkelen er som navnet antyder en sirkel som kan tegnes på innsiden av alle trekanter, og som tangerer alle tre sider. Den innskrevne sirkelen finner man ved å kikke på vinklene, nærmere bestemt vinkelhalveringslinjen for hver vinkel.

Når man tegner alle tre vinkelhalveringslinjer møtes de i et skjæringspunkt som er sentrum for den innskrevne sirkelen.

Nedenfor er et eksempel på hvordan den innskrevne sirkelen kan se ut:

A B C a c b
Den innskrevne sirkel tegnet på bakgrunn av skjæringen for de tre vinkelhalveringslinjene.

For den innskrevne sirkelen er radius \(r_i\) bestemt ved:

\(r = \frac{T}{s}\)

\(T\) er trekantens areal

\(s\) er den halve omkretsen \(\frac{a + b + c}{2}\). Se Herons formel.