Akkurat nå er 93 pålogget.

Cosinus

Cosinus kan umiddelbart være litt vanskelig å forstå, hva er cosinus? Man skal tenke på cosinus som en trigonometrisk funksjon. En trigonometrisk funksjon behøver man ikke nødvendigvis å forstå fordi den er veldig kompleks, men man skal lære å bruke dem.

Cosinus forkortes «cos» i matematiske formler. Skal man finne cosinus til for eksempel vinkel v skrives det cos (v) eller cos v.

Cosinus har hovedsaklig to bruksområder.

Cosinus i en rettvinklet trekant

For det første kan cosinus beskrive forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant. Slik kan cosinus beregne vinkler mellom 0 og 90 grader. Man kan regne ut de to andre vinklene (i forveien vet man at en vinkel er 90 grader) ved hjelp av cosinus hvis man vet lengden på to sider.

Cosinus til en vinkel er lengden på den hosliggende kateten delt med lengden på hypotenusen (husk: vet man to sidelengder som ikke er hypotenusen og den hosliggende kateten til den vinkelen man skal regne ut, kan den siste sidelengden enkelt regnes ut ved hjelp av Pythagoras).

\(\cos v = \frac{hosliggende \; katet}{hypotenusen}\)

Hypotenusen er den siden c som ligger ovenfor den rette vinkelen C. Den hosliggende kateten er den kateten som ligger hos den vinkelen som skal beregnes. Det vil si at skal man regne ut vinkel B, er siden a den hosliggende kateten. Skal vinkel A regnes ut er siden b den hosliggende kateten.

A B C b (katet) a (katet) c (hypotenusen)
En rettvinklet trekant hvor c er hypotenusen og a og b er kateter.

Dermed gjelder følgende:

\(\cos A = \frac{b}{c}\)

\(\cos B = \frac{a}{c}\)

Cosinus i enhetssirkelen

For det andre kan cosinus beskrive tallverdien for x-koordinatene til alle punktene på enhetssirkelen. Enhetssirkelen har sentrum i origo (0,0) og en radius på 1. I en sirkel er vinkelsummen alltid 360 grader, og derfor kan det tegnes andre vinkler enn i en rettvinklet trekant. Cosinus kan også brukes til å regne ut vinkler større enn 90 grader. Den positive siden av x-aksen er nullpunktet når man måler vinkler.

Går man mot uret er vinkelen positiv og hvis man går med uret er vinkelen negativ.

Dermed gjelder følgende om vinkler i enhetssirkelen:

\(\cos v =  \cos (v - 360°)\)

For eksempel som på figuren nedenunder:

\(\cos 120° = -0,5\)

  \(\cos 120° = \cos (120° - 360°)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\cos 120° = \cos (- 240°)\)

  ​\(\cos (-240°) = -0,5\)

Vinkelen på \(- 240°\) kommer av at man starter på x-aksen og tegner med uret.

y x -0,5 v = 120° v = -240°
cos v = cos(v - 360)

Samtidig gjelder det at \(\cos v = \cos (-v)\). Med andre ord har det ikke betydning for cosinus til en vinkel v om den er beregnet mot eller med uret for det gir samme x-koordinat (for sinus har det derimot betydning).

Hvis vinkel v er \(60°\) gjelder følgende:

\(\cos (60) = 0,5\)

\(\cos (-60) = 0.5\)

y x -0,5 v = 60° v -v
cos v = cos -v

Fordi x-koordinatet i enhetssirkelen alltid er mellom -1 og 1 er verdimengden for cosinus også alle reelle tall fra og med -1 til 1.

Når man regner med cosinus kan man ofte bli nødt til å flytte cosinus til den andre siden av likhetstegnet. Dette kalles for den inverse funksjon av cosinus, cos i minus første (\(\cos^{-1}\)), eller Arc cos (acos).

Da gjelder følgende regel:

\(\cos v = d ⇔ v = \cos^{-1}(d)\)

Cosinusfunksjonen har mange fellestrekk med sinusfunksjonen, sammen danner sinus og cosinus grunnlaget for tangens. Lær mer om tangens på de neste sidene.