Akkurat nå er 71 pålogget.

Sinus

Sinus kan ved første blikk være vanskelig å forstå, men man skal huske å tenke på sinus som en trigonometrisk funksjon. Fordi sinus er en funksjon som er veldig anvendelig er det viktig at man lærer seg å bruke den ordentlig, fremfor å forstå all teorien bak.

Sinus forkortes “sin” i matematiske formler og når man skal regne ut sinus til for eksempel vinkel (v) skrives det: sin(v) eller sin v.

Sinus har hovedsaklig to bruksområder. Disse er omtalt særskilt nedenfor.

Sinus i en rettvinklet trekant

Sinus kan, som cosinus, beskrive forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant og kan dermed regne ut vinkler mellom 0-90 grader. I forveien vet man at en vinkel er 90 grader og ved hjelp av sinus kan man regne ut de resterende vinklene hvis man vet lengden på to av sidene.

Sinus til en vinkel er lengden på den motstående kateten delt på lengden på hypotenusen (når man kjenner to sider i en rettvinklet trekant kan den siste regnes ut ved hjelp av Pythagoras, så derfor er to sider alltid nok).

\(\sin v = \frac{motstående \; katet}{hypotenus}\)

Hypotenusen er den siden c som ligger ovenfor den rette vinkelen C, og den motstående kateten er den kateten som ligger motsatt for den vinkelen som skal beregnes. Skal vinkel A utregnes er a den motstående kateten. Skal vinkel B utregnes er den motstående kateten side b.

A B C b (katet) a (katet) c (hypotenusen)
En rettvinklet trekant der C er hypotenusen og a og b er kateter.

Dermed gjelder det at:

\(\sin A = \frac{a}{c}\)

\(\sin B = \frac{b}{c}\)

Sinus i enhetssirkelen

Det andre viktige kjennetegnet er at sinus beskriver tallverdien for x-koordinatene til alle punktene på enhetssirkelen. Enhetssirkelen har en radius på 1 og sentrum i origo (0,0).

Vinkelsummen i en sirkel er 360 grader og enhetssirkelens vinkler overstiger derfor størrelsen på vinkler i rettvinklede trekanter, men sinus kan også brukes til å beregne vinkler som er større enn 90 grader. Når man måler vinkler er den positive siden av x-aksen nullpunktet. Når man går mot uret er vinkelen positiv, og når man går med uret er vinkelen negativ.

Det gjelder følgende om vinkler i enhetssirkelen:

\(\sin v =  \sin (v - 360°)\)

For eksempel som på figuren under:

 \(\sin 150° = 0,5\)

  \(\sin 150° = \sin (150° - 360°)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sin 150° = \sin (- 210°)\)

 ​\(\sin (-210°) = 0,5\)

Vinkelen på \(- 210°\) kommer av at man starter på x-aksen og tegner 'med uret'.

0,5 v = 150° y x v = -210°
sin v = sin (v - 360°)

Videre gjelder det at \(\sin v = - sin (-v)\). Med andre ord har det stor betydning for y-koordinatet om vinkelen er positiv eller negativ og hvorvidt retningspunktet ligger over eller under x-aksen. Hvis vinkelen v er 30 grader gjelder følgende:

\(\sin (30) = 0,5\)

\(\sin (-30) = - 0.5\)

\(-\sin (-30) = 0,5\)

0,5 y x -0,5 v -v
sin v = -sin -v

Samtidig kan man se at fordi y-koordinatene i enhetssirkelen alltid er mellom -1 og 1 er verdimengden for sinus også alle reelle tall fra og med -1 til og med 1.

I matematiske utregninger med sinus skal man ofte flytte sinus over på andre siden av likhetstegnet. Dette kalles for den inverse funksjonen av sinus, sin i minus første eller (\(\sin^{-1}\)) eller Arc sin (asin).

Her gjelder følgende regel:

\(\sin v = d ⇔ v = \sin^{-1}(d)\)

Sinusfunksjonen har mange fellestrekk med cosinusfunksjonen og sammen danner sinus og cosinus grunnlag for enda en trigonometrisk funksjon, tangens.