Akkurat nå er 221 pålogget.

Tangens

Tangens er den tredje trigonometriske funksjonen utenom de to mest grunnleggende funksjonene sinus og cosinus. Hvis sinus og cosinus er vanskelig å forstå er tangens litt verre å forstå.

På samme måte som sinus og cosinus er det ikke krise hvis man ikke forstår tangens fullstendig med all teorien bak så lenge man klarer å bruke den i utregninger.

Tangens forkortes “tan” i matematiske formler og når man skal regne ut tangens til en vinkel v skrives det som tan (v) eller tan v.

Tangens i rettvinklede trekanter

Tangensen til en vinkel defineres i en rettvinklet trekant som den motstående kateten delt på den hosliggende kateten.

\(\tan v = \frac{modstående \; katete}{hosliggende \; katete}\)

Tangens kan beskrive forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Tangens er en fordel å bruke når de to hosliggende sidene til den rette vinkelen er oppgitt. De to sidene er nemlig motstående og hosliggende til de to vinklene man kan ha behov for å regne ut i en rettvinklet trekant. Med tangens trenger man ikke kjenne lengden på hypotenusen, men den kan man alltid regne ut med Pythagoras.

Skal tangensen til \(\angle B\) regnes ut er b den motstående kateten og a er den hosliggende kateten. Når tangensen til \(\angle A\) skal regnes ut er a den motstående kateten og b den hosliggende. Man bruker ikke hypotenusen c som man gjør med sinus og cosinus.

Derfor er det veldig avgjørende at man har godt styr på hva som er den hosliggende og den motstående kateten og dermed hvilken vinkel man beregner.

A B C b (katet) a (katet) c (hypotenusen)
Når man skal beregne tangens til en vinkel er det den motstående og hosliggende kateten man skal bruke.

Tangens i enhetssirkelen

Videre har tangens en annen viktig funksjon, tangens binder nemlig de tre trigonometriske funksjonene; sin, cos og tan sammen. Tangens er lik sinus til en vinkel delt med cosinus til samme vinkel. Tangens er definert ut ifra følgende formel:

\(\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}\)

(\(\cos v ≠ 0)\)

Noe som kan hjelpe på forståelsen er at tangens betyr en tangent som går gjennom punktet (1,0). Ved hjelp av enhetssirkelen kan det grafisk avbildes hva tangens betyr. Tangens til vinkelen v er lengden på den vinklerette tangenten med start i punktet (1,0) som kommer når retningsvinkelen forlenges ut over retningspunktet på enhetssirkelen.

På figuren er \(\angle v\) tegnet som vinkelen mellom x-aksen og retningsvinkelen. Sinusen til vinkel v er markert med gult, cosinus til vinkel v med rødt og tangensen til vinkel v er blå.

x y x x v cos v sin v 1 tan v
Sammenhengen mellom sinus, cosinus og tangens i enhetssirkelen.

I matematiske utregninger med tangens kan man ofte komme ut for at tangens skal flyttes over på den andre siden av likhetstegnet for å løse ligningen. Dette beskrives som den inverse funksjonen av tangens, tan i minus første (\(\tan^{-1}\)) eller Arc tan (atan).

Her gjelder følgende regel:

\(\tan v = d ⇔ v = tan^{-1}(d)\)