Akkurat nå er 63 pålogget.

Pythagoras

Pythagoras var en gresk filosof og matematiker. Pythagoras har lagt navn til en av de mest kjente matematiske uttrykkene innenfor trigonometri. Det beskriver sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant.

Innenfor trigonometri er formler og en rettvinklet trekant først og fremst karakterisert ved Pythagoras som muligens den mest grunnleggende delen.

Den riktige betegnelsen for sammenhengen er Pythagoras læresetning, men den kalles også for Pythagoras eller Pythagoras’ læresetning.

Pythagoras’ læresetning: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Pythagoras beskriver sammenhengen mellom de tre sidene i en rettvinklet trekant. Pythagoras beskriver at i rettvinklede trekanter er summen av katetenes kvadrater lik med kvadratet på hypotenusen. Katetene er de to sidene som er hosliggende til den rette vinkelen. Hypotenusen er alltid den siden som ligger ovenfor den rette vinkelen på 90 grader. I Pythagoras’ opprinnelige utgave av en rettvinklet trekant er det side c.

Det betyr at hvis man kjenner lengden på to sider i en rettvinklet trekant, kan man alltid regne ut lengden på den tredje ukjente siden. Dette gjelder spesifikt for rettvinklede trekanter der den ene vinkelen alltid er 90 grader, ikke for en vilkårlig trekant. De 3 ulike sidene beskrives som a, b og c.

c C A B a b 90°
Rettvinklet trekant der siden c er hypotenusen.

Eksempel 1

I en rettvinkelt trekant der \(\angle C = 90°\) vet man at sidelengdene \(a = 6\) cm og \(b = 8\) cm

Beregn lengden på hypotenusen ved hjelp av Pythagoras.

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(6^2 + 8^2 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(36 + 64 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(100 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(c = 10\)

I trekant ABC er hypotenusen \(c = 10\) cm.

Eksempel 2

I den rettvinklede trekanten DEF er \(\angle F = 90 °\), sidelengdene \(d = 5\) cm og \(f = 13\) cm.

Det betyr praktisk talt at i dette tilfellet er f hypotenusen i trekanten, fordi f ligger som den motsatte vinkelen. Derfor setter vi f inn som “c” i læresetningen.

Regn ut lengden på side e ved hjelp av Pythagoras’ læresetning.

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(d^2 + e^2 = f^2\)
\(\Downarrow\)
  \(5^2 + e^2 = 13^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(25 + e^2 = 169\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 169 - 25\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 144\)
\(\Downarrow\)
  \(e = 12\)

I trekant DEF er sidestykket \(e = 12\) cm.

Pythagoras setning gjelder kun for rettvinklede trekanter med en vinkel på 90 grader. Det samme gjelder også for sinus, cosinus og tangens. Pythagoras kan ikke brukes når man skal regne ut vilkårlige trekanter. Her skal man i stedet bruke cosinussetningene og sinussetningene.

Pythagoras’ omvendte setning - a^2 + b^2 = c^2

Pythagoras’ omvendte setning sier at hvis det har seg at a^2 + b^2 = c^2 er trekanten rettvinklet. I Pythagoras starter man med å anta det omvendte, nemlig at trekanten er rettvinklet. Som navnet antyder er det et bevis for at det motsatte også er gjeldende.

Har man summen av at to av katetenes kvadrater er lik med kvadratet på den tredje kateten (hypotenusen) så vet man at det er en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen vil alltid være den vinkelen motsatt kateten hvis kvadratet er lik med summen av kvadratet på de to resterende katetene.