Akkurat nå er 15 pålogget.

Beregning trekant

Beregning av trekanter beskriver de utregningene man må gjøre av vinkler og sider utifra hvilke opplysninger man har om trekanten. Det avhenger først og fremst av om det er en rettvinklet trekant eller en vilkårlig trekant. Finner man ut underveis i beregningen at man har en rett vinkel på \(90°\), kan man bruke Pythagoras, sinus, cosinus og tangens i resten av utregningen.

I beregning av trekanter er det et par hovedregler, for å kunne regne ut de resterende sidelengdene er man nødt å vite minst en sidelengde på forhånd. For å si noe om størrelsen på trekantens vinkler trenger man ikke vite noe om noen av vinklene, så lenge man kjenner alle sidelengdene.

Nedenfor skisseres de ulike tilfellene av beregning av trekanter navngitt etter de opplysningene man får i oppgaven:

Tre sider

Beregning av trekanter er enkelt når man kjenner til alle sidene. Utregningen foregår ved å regne ut en vinkel av gangen ved hjelp av cosinussetningene. En etter en kan de tre vinklene regnes ut, husk at summen av alle vinklene i en trekant skal være 180°. Det gjelder både for vilkårlige og rettvinklede trekanter, dog med rettvinklede trekanter vet man at en vinkel er 90°.

To sider og en mellomliggende vinkel

Kjenner man to sider og en mellomliggende vinkel kan man ved hjelp av cosinussetningene finne lengden på den siste siden, altså den motstående siden til vinkelen man allerede vet noe om.

Deretter bruker man cosinussetningene eller sinussetningene for å regne ut den andre vinkelen, og tilslutt finner man den siste når man vet at vinkelsummen skal være 180°.

To sider og en ikke-mellomliggende vinkel

Når man har informasjon om to sider og en ikke-mellomliggende vinkel er det snakk om det som i beregning av trekanter kalles for et tvetydig tilfelle. Det heter det tvetydige tilfelle fordi det i teorien kan være to trekanter med de gitte opplysningene.

Det kan også kun være en eller ingen trekanter, det kommer an på de gitte opplysningene.

a = 4,5 C c b = 8 43° A
Det tvetydige tilfelle der det med de gitte opplysningene kan eksistere to ulike trekanter.

Som figuren viser vet man en vinkel A og den hosliggende siden b. Utover det vet man den motstående siden a til vinkel A, men ikke side a sin plassering fordi man ikke vet noe om vinklene rundt. Måten man bestemmer trekanten på grafisk er ved å måle sidelengden a med passeren, med utgangspunk i C. Deretter tegner man en sirkelbue med passeren.

  • Treffer sirkelbuen lengden på det ukjente linjestykket C to steder, finnes det to trekanter. En stump trekant og en spiss trekant.
  • Tangerer sirkelbuen på linjestykket c i et punkt er det kun snakk om en trekant. I dette tilfelle er \(\angle B\) en rett vinkel.
  • Treffer den overhodet ikke er det en falsk trekant, det kan skje men dobbeltsjekk for feil i utregningene.

Er det snakk om to skjæringspunkt skal man oppgi de resterende målene for begge trekantene. Måten man regner dem ut på er ved hjelp av sinussetningene. Når man vet to sider og en ikke-mellomliggende vinkel vet man alltid et helt par. Altså en vinkel og den motstående siden med samme navn. Derfor kan man bruke en sinussetning for å finne den vinkelen (B) som er paret med den andre siden (b) man kjenner.

Det tvetydige tilfellet eller 'sinusfellen' viser at det er to mulige løsninger til denne vinkelen utifra regelen: \(\sin (v) = sin (180°- v)\). Når man har funnet v, i dette eksempelet \(B_1\), kan man deretter finne den andre løsningen for vinkelen \(B_2\).

\(B_2 = 180° – B_1\).

For både trekant \(AB_1C_1\) og trekant \(AB_2C_2\) kan man finne den tredje vinkelen (\(C_1\) og \(C_2\)) ut ifra den samlede vinkelsummen på 180 grader. Deretter kan man finne lengden på den siste siden for begge trekantene med en sinussetning.

Er det derimot snakk om en tangering av sirkelbuen og dermed en rettvinklet trekant kan den tredje vinkelen enkelt regnes ut fra vinkelsummen på 180. Deretter kan Pythagoras eller en sinussetning brukes for å finne den siste sidelengden.

To vinkler og en mellomliggende side

Beregning av trekanter når man vet to vinkler starter med å finne den tredje vinkelen, fordi man vet at vinkelsummen skal være 180 grader. Når man vet alle de tre vinklene og en side har man et par (vinkel og motstående side) og kan derfor bruke to ulike sinussetninger for å finne de resterende sidelengdene.

To vinkler og en ikke-mellomliggende side

Ut ifra den samlede vinkelsummen på 180 grader kan man igjen begynne med å finne den siste vinkelen. Deretter bruker man igjen sinussetninger for å finne de to resterende sidelengdene fordi man igjen har et helt par (vinkel og motstående side).

Tre vinkler

Trekantens mål kan ikke bestemmes hvis man ikke kjenner til en sidelengde .