Akkurat nå er 202 pålogget.

Sinussetningen

Sinussetningen (sinusproporsjonen) beskriver sammenhengen mellom vinkler og sider i alle trekanter. Det gjelder både for vilkårlige og rettvinklede trekanter. I motsetning til sinus, cosinus og tangens som kun gjelder for rettvinklede trekanter, gjelder sinussetningene for alle trekanter slik som cosinussetningene.

Det må understrekes at det er viktig at vinklene pares med den motstående siden, slik at den siden som på figuren nedenunder er motsatt av vinkel B ALLTID er side b. De tre parene av en vinkel og den tilhørende motstående side er spesielt avgjørende for sinussetningen.

A B C c a b
En vilkårlig trekant og de vinklene og tilhørende sidene som skal pares sammen.

Når man utfører beregninger med sinussetningene skal man også ha tre opplysninger for å kunne regne ut de resterende 3 ukjente vinklene og sidene. For sinussetningene er det viktig å kjenne et helt par, altså både vinkelen og den motstående siden pluss en tilleggsopplysning. Det skal forklares mer detaljert.

Vi starter med å se på formelen for sinussetningene:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\) 

Omskrivningen nedenfor gjelder for den inverse sinussetningenen:

\(\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}\)

Sinussetningen - varianter til utregning

Formelen for sinussetningene kan godt se litt forvirrende ut med to likhetstegn. Det viktigste å forstå er at alle disse tre parene av en vinkel og den tilhørende siden er like. Det betyr at man kan isolere et ledd og kun bruke to av de tre leddene. Fordi alle sammen er like, kan man fint utelate et ledd.

For eksempel:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\)        og       \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\)       og       \(\frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)   

Som nevnt tidligere skal man kjenne til et par pluss en tilleggsopplysning for å kunne bruke sinussetningen, altså:

  • vinkel A og side a (og en annen vilkårlig vinkel eller side)
  • vinkel B og side b (og en annen vilkårlig vinkel eller side)
  • vinkel C og side c (og en annen vilkårlig vinkel eller side)

Med en annen opplysning kan man regne ut den andre delen av det paret. Når man har to hele par kan man finne den tredje vinkelen ved hjelp av den samlede vinkelsummen på 180 grader.

Deretter kan man bruke en annen sinussetningen for å finne den siste ukjente siden i det paret. Bokstavene og navnene på vinkler og sider kan variere, derfor er det viktig å holde styr på hvilke vinkler og sider som skal pares sammen.

Et avgjørende element angående sinus og sinussetningene er:

\(\sin (v) = \sin (180-v)\).

Sinusfellen eller det tvetydige tilfelle betyr at trekanten kan ha mer enn en løsning. Se beregning av trekanter for ytterligere forklaringer om det tvetydige tilfellet.

Eksempel 1

I en vilkårlig trekant ABC vet man at:

\(\angle A = 38° , \angle B = 72°\) og side \(a = 76\) cm

Regn ut side b?

Sinussetningen med a og b brukes:

  \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{76}{\sin(38)} = \frac{b}{\sin(72)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{76 \cdot \sin(72)}{\sin(38)} = b\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = 117,40\)

Dermed er sidestykket \(b = 117,40\) cm

Eksempel 2

Man vet følgende om en vilkårlig trekant DEF:

\(\angle E = 56°\) , side \(e = 12,1\) cm  og side \(f = 9,8\) cm

f = 9,8 cm F D E e = 12,1 cm f = 9,8 cm d 56°
En skisse av trekant DEF (ikke de eksakte mål).

Regn ut de resterende sidene og vinklene?

Det er et helt par fordi man vet både vinkel E og side e. I dette tilfellet skal man derfor bruke den omvendte sinussetningen med e og f.

  \(\frac{\sin(E)}{e} = \frac{\sin(F)}{f}\)
\(\Downarrow\)
  
\(\frac{\sin(56)}{12,1} = \frac{\sin(F)}{9,8}\)
\(\Updownarrow\)
  
\(\frac{\sin(56) \cdot 9,8}{12,1} = \sin(F)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sin(F) = 0,671451918\)
\(\Updownarrow\)
  \(F= \sin^{-1} (0,671451918)\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 42,18\)

Dermed er \(\angle F = 42,18°\)

Den vinkelen ser ut til å passe fint med skissen, så det tvetydige tilfellet er ikke gjeldende her.

\(\angle D\) kan nå regnes ut ved å trekke de to andre vinklene ifra vinkelsummen på 180 grader.

\(\angle D = 180° - 56° - 42,18° ⇔ \angle D = 81,82°\)

Dermed kan side d regnes ut med en sinussetningen:

  \(\frac{d}{\sin(D)} = \frac{e}{\sin(E)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{d}{\sin(81,82)} = \frac{12,1}{\sin(56)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(d = \frac{12,1 \cdot \sin(81,82)}{\sin(56)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(d = 14,45\)

Dermed er side \(d = 14,45\) cm