Matematikk
Bevis for at Sqrt[2] er irrasjonalt
Merk:
(1) Hvis du tar et vilkårlig heltall og multipliserer det med 2, må det nye tallet være et partall.
(2) Hvis kvadratet av et tall er et partall, må også tallet være partall.
(3) Brøker kan forenkles. 16/24 = 8/12 = 4/6 = 2/3. Nå kan ikke brøken forenkles mer.
Teorem:
Bevis:
For å løse denne oppgaven bruker vi indirekte bevis, og antar at
Fra (1) ser vi nå at p^2 må være et partall, og fra (2) at p også må være et partall. Og hvis p er et partall kan det skrives som 2m, der m er et annet helt tall. Setter inn i formelen
Nå ser vi igjen at
Svar #1
17. mars 2006 av Karlsen (Slettet)
Det kan gjøres på mange måter, men den enkleste er nok å bruke gcd-funksjonen.
Bevis her: http://www.home.no/karlsenova/primtall1.pdf.
Svar #3
10. september 2006 av Magnus (Slettet)
Ja, dette kan greit forklares. Vi ser at
Hvis man skal benytte en litt mer matematisk ordlegging kan man vel si at dette tallet er partall fordi partall er alle tall p som er på formen 2k, hvor k er et vilkårlig heltall.
Svar #4
11. september 2006 av Karlsen (Slettet)
Svar #5
14. september 2006 av Bogfjellmo (Slettet)
Anta
Hvor
Hvis vi antar at det finnes et primtall p slik at
Men da kan
Ergo får vi at det ikke finnes noe primtall p slik at
Det eneste naturlige tall som ikke er delelig med noe primtall er 1, ergo er b=1 og
Dermed har vi bevist at hvis roten av et naturlig tall er et rasjonelt tall, er det også et heltall. Det følger at hvis roten av et naturlig tall ikke er et heltall, er det heller ikke rasjonelt.
Q.E.D.
Svar #6
14. september 2006 av Magnus (Slettet)
På venstresiden her har vi bnx + ay, hvor alle tallene er hele tall, følgelig må også
, hvor r er et heltall.[/size]
Hvis n ikke er et kvadrattall, vil vi få en motsigelse, og følgelig må roten av et tall som ikke er et perfekt kvadrat nødvendigvis være irrasjonelt. [/size]
Skriv et svar til: Bevis for at Sqrt[2] er irrasjonalt
Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no?
Klikk her for å registrere deg.