Matematikk

Bevis for at Sqrt[2] er irrasjonalt

28. februar 2006 av Magnus (Slettet)

Beviset er av Euklid, og over 1000 år gammelt.

Merk:
(1) Hvis du tar et vilkårlig heltall og multipliserer det med 2, må det nye tallet være et partall.
(2) Hvis kvadratet av et tall er et partall, må også tallet være partall.
(3) Brøker kan forenkles. 16/24 = 8/12 = 4/6 = 2/3. Nå kan ikke brøken forenkles mer.

Teorem:

kan ikke skrives som en brøk.

Bevis:
For å løse denne oppgaven bruker vi indirekte bevis, og antar at

kan skrives som brøken p/q.

.

Fra (1) ser vi nå at p^2 må være et partall, og fra (2) at p også må være et partall. Og hvis p er et partall kan det skrives som 2m, der m er et annet helt tall. Setter inn i formelen

. Deler med 2 på begge sider.

.

Nå ser vi igjen at

MÅ være et partall. Og ettersom alle partall har faktoren 2, så må det være mulig å fortkorte brøken p/q ytterligere. Ergo vi har en motsigelse, og derfor må det være sant at

ikke kan skrives som en brøk.

Brukbart svar (0)

Svar #1
17. mars 2006 av Karlsen (Slettet)

Vi kan gjøre dette generelt ved å vise at sqrt(p) hvor p er primtall alltid blir irrasjonelt.
Det kan gjøres på mange måter, men den enkleste er nok å bruke gcd-funksjonen.

Bevis her: http://www.home.no/karlsenova/primtall1.pdf.

Brukbart svar (0)

Svar #2
10. september 2006 av Jay (Slettet)

Kan noen forklare hvorfor p^2 er et partall.....

Svar #3
10. september 2006 av Magnus (Slettet)

Hei Jay.

Ja, dette kan greit forklares. Vi ser at

. Altså. p er lik kvadratet av q, og multiplisert 2. Og vi vet at hvis vi tar et hvilket som helst heltall og multipliserer det med 2, så må det nye heltallet nødvendigvis bli i 2-gangen. Og 2-gangen går igjennom alle partallene, hvis du forstår min veldig ille beskrivelse.

Hvis man skal benytte en litt mer matematisk ordlegging kan man vel si at dette tallet er partall fordi partall er alle tall p som er på formen 2k, hvor k er et vilkårlig heltall.

Brukbart svar (0)

Svar #4
11. september 2006 av Karlsen (Slettet)

Påstand #1 er forsåvidt ikke riktig! Ser ut som hastverksarbeid. :)

Brukbart svar (0)

Svar #5
14. september 2006 av Bogfjellmo (Slettet)

Jeg har kommet fram til et enda mer generelt bevis, nemlig at hvis kvadratroten av et naturlig tall ikke er et heltall, er det heller ikke et rasjonelt tall. Eller med andre ord, med mindre n er et kvadrattall, er

et irrasjonelt tall.

Anta

Hvor

ikke kan forkortes.

Hvis vi antar at det finnes et primtall p slik at

får vi

.

Men da kan

forkortes, noe som er i strid med en tidligere antakelse.

Ergo får vi at det ikke finnes noe primtall p slik at

.

Det eneste naturlige tall som ikke er delelig med noe primtall er 1, ergo er b=1 og

et heltall.

Dermed har vi bevist at hvis roten av et naturlig tall er et rasjonelt tall, er det også et heltall. Det følger at hvis roten av et naturlig tall ikke er et heltall, er det heller ikke rasjonelt.

Q.E.D.

Svar #6
14. september 2006 av Magnus (Slettet)

Alternativt:

På venstresiden her har vi bnx + ay, hvor alle tallene er hele tall, følgelig må også

være heltallig, og det er den hvis og bare hvis

, hvor r er et heltall.[/size]

Hvis n ikke er et kvadrattall, vil vi få en motsigelse, og følgelig må roten av et tall som ikke er et perfekt kvadrat nødvendigvis være irrasjonelt. [/size]

Skriv et svar til: Bevis for at Sqrt[2] er irrasjonalt

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.