Akkurat nå er 194 pålogget.

Matematikk

Likningsett 2

13. juli 2006 av Magnus (Slettet)
Denne er litt vanskeligere enn den forige:

Tallene x,y,z.w er alle > 0 . Bestem den minste verdien av x slik at følgende likningsett blir oppfyldt:





Hva blir da verdiene til y,z og w ?

Brukbart svar (0)

Svar #1
13. juli 2006 av daofeishi (Slettet)





x må være større enn
. Hvis løsningene skal være heltallige, impliserer det at
. Minste verdi x kan ha er 3339, og følgende verdier resulterer:






Oppfølger:
(Finn matematisk - helt trivielt dersom du kan løse diofantiske likninger av første grad)
En person kjøper nøyaktig 100 plater sjokolade. Platene finnes i tre størrelser. Noen koster 35 cent, noen koster 40 cent for 3 og noen koster 5 cent hver. Personen kjøper for en totalpris av 10$. Hvor mange plater av hver type har han kjøpt? (Og finnes det bare én løsning?)

Svar #2
13. juli 2006 av Magnus (Slettet)

Beklager. Men var en feil i oppgaveteksten.

Denne er litt vanskeligere enn den forige:

Tallene x,y,z.w er alle
0 (skulle være større eller lik, ikke bare større..) . Bestem den minste verdien av x slik at følgende likningsett blir oppfyldt:





Hva blir da verdiene til y,z og w ?

Brukbart svar (0)

Svar #3
14. juli 2006 av daofeishi (Slettet)

Ok, siden du kun sier minste verdien av x, regner jeg med at x, y, z og w er reelle tall. Løsningen blir da akkurat den samme:











Minste verdien for x som tilfredsstiller settet er
.
Verdiene for de andre variablene blir:
,
og

Svar #4
14. juli 2006 av Magnus (Slettet)

Korrekt! Du er rimelig rask du :)

Svar #5
14. juli 2006 av Magnus (Slettet)

Oppfølger:
(Finn matematisk - helt trivielt dersom du kan løse diofantiske likninger av første grad)
En person kjøper nøyaktig 100 plater sjokolade. Platene finnes i tre størrelser. Noen koster 35 cent, noen koster 40 cent for 3 og noen koster 5 cent hver. Personen kjøper for en totalpris av 10$. Hvor mange plater av hver type har han kjøpt? (Og finnes det bare én løsning?)


Vet ikke helt om denne løsningsmetoden er helt godkjent, men shit au. Vi prøver.

y + 3x + z = 100

0.35*y + 0.40x + 0.05z = 10

=>

0.65y + 2.60x + 0.95z = 90

0.65y + 2.60x + 0.95(100 - 3x - y) = 90

0.65y + 2.60x + 95 - 2.85 - 0.95y = 90

0.3y + 0.25x = 5

Mutlipliserer begge sider med 4.

1.2y + x = 20

Hvis vi følger 1.2-gangen under 20 finner vi 3 heltall: 6, 12 og 18. Dette gir x'er som er henholdsvis 14, 8 og 2.

Vi prøver først med y = 5 og x = 14.





(y,x,z)-tallparet (6,14,36) er en løsning.

Prøver med (10,8,z)





(y,x,z)-tallparet (10,8,66) er dermed en løsning.

Prøver siste mulighet:

y = 15 og x = 2





Altså er også (y,x,z)-tallparet (15,2,79) en løsning.

Så har vi forøvrig to til. Der han unnlater å kjøpe en del.

Ingen y gir 20x og 40z. Som gir løsningen (0,20,40)

Ingen x gir ingen heltallig løsning for y. Og ingen z gir ingen heltallige løsninger for x,y. Dette gir meg 4 løsninger..

Attraktiv løsningsmetode sikkert...

Brukbart svar (0)

Svar #6
14. juli 2006 av daofeishi (Slettet)

Min løsning følger. Den impliserer riktignok at man kjenner til løsning av diofantiske likninger av første grad.

Kall antall sjokolader av hver type for a, b og c.



Ved å skrive c som en funksjon av a og b, substituere i andre likningen og forenkle, får vi:


Løsninger eksisterer bare dersom
.
Siden GCD(18, 5) = 1 eksisterer en løsning, og vi bruker Euklids algoritme for å finne:



Multipliser begge sider med 300. Dermed ser vi at


Siden vi ikke kan kjøpe et negativt antall sjokolader må vi løse:


Dette gir:


Som igjen gir løsninger for a og b:




Dermed er det en smal sak å finne c, og alle mulige løsninger:

Svar #7
15. juli 2006 av Magnus (Slettet)

Skjønner. Kunne ikke løse diofantsike likninger av første grad, men uansett så rotet jeg det til i starten.

Brukbart svar (0)

Svar #8
15. juli 2006 av Karlsen (Slettet)

Algoritmen har forøvrig ikke fått navnet sitt etter Euler.

Brukbart svar (0)

Svar #9
15. juli 2006 av daofeishi (Slettet)

stemmer.... Den er selvfølgelig etter Euklid. Beklager.

Skriv et svar til: Likningsett 2

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.