Akkurat nå er 112 pålogget.

Matematikk

3MX: Sannsynlighet og statistikk

18. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)
Hei!

Jeg har problemer med noen oppgaver som dreier seg om statistikk og sannsynlighet.
Det dreier seg om følgende:

1) <<Vi regner med at en lyspære gjennomsnittlig varer 2500 timer. Vi regner videre med at levetiden er normalfordelt med et standardavvik på 1500 timer.

Finn sannsynligheten for at en lyspære varer i mer enn 5000 timer når du vet at den varer i mer enn 3000 timer.>>


Neste oppgave dreier seg om normaltilnærming, og lyder som følger:
2) <<En bedrift skal undersøke om et produkt er blitt mer populært etter at emballasjen fikk et mer ungdommelig preg. Seks av ti likte det opprinnelige produktet. Produktet i den nye emballasjen testes på 300 personer. Finn ut hvor mange som må like det før en med 90 % sannsynlighet kan si at det nye er bedre.>>

Og til slutt:
3) << Vis at E(Z) = 0 og Var(Z) = 1 når Z er en standardisert normalfordeling ( Z = (X - μ)/σ )>>

På forhånd takk for svar!

Brukbart svar (0)

Svar #1
18. mars 2006 av Magnus (Slettet)

Er litt usikker på oppgave 1. Kunne du gitt meg fasitsvaret? Så skal jeg alltids gi deg løsningsmetoden :)

Svar #2
18. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Fasitsvaret for oppgave 1 er p = 0,129.

Brukbart svar (0)

Svar #3
18. mars 2006 av Magnus (Slettet)

1)

Vi har forventningsverdien på 2500, og standardavvik på 1500.

Først regner vi ut sannsynligheten for at levetiden er 5000 eller mer. Dette kan vi enten gjøre for hånd ved å bruke tabeller, kalkulator eller http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html.





Så tar vi en titt på formelen for betinget sannsynlighet:



Og de eneste felles hendingene må jo være


Vi får:


Svar #4
18. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Ah, selvfølgelig. Betinget sannsynlighet ja. Jeg burde tenkt på det.

PS: Du mener vel at det er > som leses som "lik eller større enn"...

Takk for hjelpen. Håper på svar på resten av oppgavene også :oops:

Brukbart svar (0)

Svar #5
18. mars 2006 av Magnus (Slettet)

Jepp. Det mener jeg.

2)

Først definerer vi estimatoren for gjennomsnittet:



Og deretter finner vi standardfeilen for gjennomsnittet. Som vi skal bruke i et konfidensintervall:



Så setter vi opp et konfidensintervall og bryr oss bare om den ene delen.



Vi har allerede funnet S, og i et konfidensintervall som skal være på 90%, finner vi at z må være 1.6449.



Så setter vi inn for estimatoren, og regner ut n.





199 eller fler må svare at de liker produktet.

Ettersom enkelte klager på lite tekst i oppgaven her kan jeg ljo legge med en liten quote fra msn

Burde kanskje skrive at for at vi skal kunne si at flere liker pakken må ikke den tidligere verdien være med i konfidensintervallet, fordi det er ikke en av verdiene i konfidensintervallene som er mer sannsynlig enn en annen.




3)
<< Vis at E(Z) = 0 og Var(Z) = 1 når Z er en standardisert normalfordeling ( Z = (X - μ)/σ )>>








Var[my]=0 , fordi den er en fastverdi ogda ikke kan variere(er en konstant)

Svar #6
18. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Alright, tusen takk for super hjelp!

Kan legge til at fasitsvaret på oppgave 2) er 199 personer, men det skal ikke mange avvik i avrundingene (sett i forhold til fasitutregninger) til for å få slike avvik. Boken regner at z-verdien for et 90 %-konfidensintervall er 1,65. Men, det er bare flisespikkeri.

Takk! :)

Brukbart svar (0)

Svar #7
19. mars 2006 av Magnus (Slettet)

Alright, tusen takk for super hjelp!

Kan legge til at fasitsvaret på oppgave 2) er 199 personer, men det skal ikke mange avvik i avrundingene (sett i forhold til fasitutregninger) til for å få slike avvik. Boken regner at z-verdien for et 90 %-konfidensintervall er 1,65. Men, det er bare flisespikkeri.

Takk! :)


Jeg fikk jo 199? M.m du skal spørre 0.8 personer da ;)

Svar #8
19. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Jeg fikk jo 199? M.m du skal spørre 0.8 personer da


Beklager, skrivefeil seint på kvelden fra min side. :oops:
Det skal selvfølgelig stå at fasitsvaret er 191 personer.

Men det er én ting jeg lurer på i forbindelse med utregningen av oppgave 2.

Hvis estimatoren for gjennomsnittet er gitt ved
=
, og så brukes denne for å finne standardfeilen/standardavviket for gjennomsnittet
, blir det hele feil, vel? Standardfeilen for gjennomsnittet er definert ved:

=
, der S er standardavviket for gjennomsnittet i hele populasjonen. Er denne standardfeilen (S) og estimatoren for gjennomsnittet det samme?

Her falt jeg av lasset, for å si det sånn... :cry:

*EDIT:
Oppgaven står under et avsnitt som dreier seg om normaltilnærming, dvs. at vi har en binomisk forsøksrekke, og fordi antallet forsøk n er så stort, kan vi tilnærme den binomiske forsøksrekken til en normalfordeling.

Jeg tenker som så:
Sannsynligheten for at én liker produktet er

Forventningsverdien er da

Standardavviket

Vi lar den stokastiske variabelen X stå for at en person liker den nye emballasjen. Vi har da at
, hvilket medfører at


Regner vi får vi


Det merkelige sammentreffet her er at 300 - 109 = 191, som er fasitsvaret. Men nå har jo jeg regnet ut at det er 109 som må like den nye emballasjen, og at det er 191 som ikke må like det (av de 300 personene i stikkprøven). :roll:

Brukbart svar (0)

Svar #9
19. mars 2006 av Lukewarm (Slettet)

Strengt tatt dreier vel denne oppgaven om en populasjonsandel, og det burde derfor kanskje vært brukt
is steden for
.


Standardfeilen for estimatet av populasjonsandelen blir da:

Svar #10
19. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Det er jeg for så vidt enig med deg i Lukewarm, men ettersom oppgaven er under avsnittet "Normaltilnærming", er det nærliggende å tro at man skal se på dette som en binomisk forsøksrekke, og tilnærme den til en normalfordeling.

Kravene for at vi kan gjøre det er jo dessuten oppfylte:

-

-


der p er sannsynligheten for "suksess".

I formelsamlingen for matematikk er "Standardfeil for estimator for populasjonsandel" gitt ved formelen:

=

Brukbart svar (0)

Svar #11
19. mars 2006 av Lukewarm (Slettet)

Hmm, vel, det stemmer nok for standardfeilen hadde ikke formelsamling her.......

Men begge måtene innebærer jo en normaltilnærming. Under populasjonsundersøkelser regner man estimatoren for populasjonsandelen for å være tilnærmet normalfordelt.
Det jeg reagerer på er jo at oppgaven spør etter hvor mange som må like det før vi kan si med nittiprosent sannsynlighet kan si det nye er bedre. Når du da benytter den binomiskeformelen antar du jo at du vet hvor mange som ikke kommer til å like det?

Den stokastiske variablen X settes i din utregning til én person liker den nye emballasjen og deretter finner du sannsynligheten for at X er større eller lik 0.90???

Svar #12
19. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Regner jeg ut sannsynligheten for at X er større eller lik 0,90? Står det ikke "sannsynligheten for at X er større eller lik x er lik 0,90"? (Du tenker på Z-verdiene på Gausskurven ja? Men da finner man jo P(Z<z), som i dette tilfellet blir P(Z<0,10) --> z = -1,28
Nå blir jeg totalforvirret her :cry: ...

Kan du/dere vise en skikkelig utregning her? (Med mindre Magnus allerede har gjort det... :? )

Brukbart svar (0)

Svar #13
19. mars 2006 av Magnus (Slettet)

Jeg vet ikke om noen andre og "bedre" måter å regne ut oppgaven på.

Svar #14
19. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Ok, men jeg etterlyser fremdeles svar på spørsmålet i mitt innlegg nr. 5 i denne tråden:

Men det er én ting jeg lurer på i forbindelse med utregningen av oppgave 2.

Hvis estimatoren for gjennomsnittet er gitt ved
=
, og så brukes denne for å finne standardfeilen/standardavviket for gjennomsnittet
, blir det hele feil, vel? Standardfeilen for gjennomsnittet er definert ved:

=
, der S er standardavviket for gjennomsnittet i hele populasjonen. Er denne standardfeilen (S) og estimatoren for gjennomsnittet det samme?


Er ikke formelen for standardfeilenen som ble brukt i utregningen (der svaret ble "199") feil?
(Dette bemerket også Lukewarm da det ble kommentert at vi burde bruke "p-merket" i stedet for "u-merket")

Brukbart svar (0)

Svar #15
19. mars 2006 av Lukewarm (Slettet)

NÅ har det skjedd mye rart her, men etter å ha sett over oppgaven tror jeg det er slik det skal gjøres:

Det første produktet ble likt av 300*0.6=180 personer.
Vi innfører da den stokastiske variabelen X="antall personer av 300 tilfeldig valgte som liker det nye produktet"

Vi ønsker da at:


Men denne X er fortsatt binomisk fordelt, men vi vet ikke forventningsverdien eller standardavviket til denne, nye undersøkelsen.




Vi gjør om til standardnormalfordeling:




Dette gir:






Hvilket gir med bare den riktige løsningen:




NB: Kan ha blitt noe feil her litt vanskelig å ee hva man har skrevet...

Svar #16
19. mars 2006 av Kjemi-n00b (Slettet)

Jeg har misforstått oppgaveteksten fra første stund. :oops:
Jeg leste teksten som at 0,60 av de 300 personene likte det opprinnelige produktet, og at de dermed ikke likte det nye produktet.

Jeg er helt enig i dine utregninger Lukewarm.
Den ene verdien av p utgår fordi den gir et antall som er under 180 personer (169 personer).

Takk for all hjelp!

Skriv et svar til: 3MX: Sannsynlighet og statistikk

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.