Matematikk

Integral

29. oktober 2015 av OdaJ (Slettet) - Nivå: Vgs

1) $\int_{3}^{1} \frac{x^{2}+1}{x}$

2) Regn ut arealet mellom grafene f(x) = 2x² - 1 og g(x) = -2x +3

Brukbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2015 av Sigurd

1) Her er mitt tips å prøve å splitte brøken i to. Du kan skrive

$\frac{x^2+1}{x} \ \ =\ \ \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} \ \ =\ \ x + \frac{1}{x}$

Dette tror jeg du klarer å integrere/antiderivere selv! Ta evt. en kikk på innlegget fra i går! :-)

2) Her er det først og fremst kjempelurt å tegne en graf. Enten i f.eks. Geogebra eller på en grafkalkulator, eller ved å lage noen små punkter og en rask skisse.

Vi må først finne hvor grafene skjærer hverandre for å kunne vite hvilket område vi skal beregne arealet. Det vil si, vi må finne x der f(x) har samme verdi som g(x). Vi får en andregradslikning. Jeg løser den her med fullstendig kvadraters metode

KOMMENTAR: Jeg liker fullstendige kvadraters metode best, for da kan jeg bare skrible i vei uten å måtte finne frem kalkulator eller huske noen formel, men du kan selvsagt bruke ABC-formelen hvis foretrekker den! Det viktigste er å finne x-verdiene i skjæringspunktene. Du kan selvsagt også bruke CAS/Geogebra/kalkulator til å regne ut dette hvis det er en type Del 2-oppgave hvor hjelpemidler er tillatt.

$f(x) = g(x) \newline\newline \Rightarrow 2x^2 -1 = -2x+3 \newline\newline \Rightarrow 2x^2 + 2x -4 = 0 \newline \newline \Rightarrow 2(x^2+x) -4 = 0 \newline\newline \Rightarrow 2\left(x^2 + x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2} \right )^2 \right) -4 = 0 \newline\newline \Rightarrow 2\left( \left(x+\frac{1}{2} \right )^2 - \frac{1}{4} \right ) - 4 = 0 \newline\newline \Rightarrow 2\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} - 4 = 0 \newline\newline \Rightarrow 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{2} \newline\newline \Rightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{9}{4} \newline\newline \Rightarrow x+ \frac{1}{2} = \pm \frac{3}{2} \newline\newline \Rightarrow x = -\frac{4}{2} \ \ \vee \ \ x = \frac{2}{2} \newline\newline \Rightarrow \underline{x = -2} \ \ \vee \ \ \underline{x = 1}$

Nå integrerer jeg differansen mellom de to grafene, altså integralet av i dette intervallet, fra x = -2 til x = 1. Da et areal alltid er positivt, og g(x) er større enn f(x) i intervallet, må jeg ta g(x) - f(x), og ikke omvendt.

$\newline A = \int_{-2}^{1} \left(g(x) - f(x)\right) dx \newline\newline = \int_{-2}^{1} \left(-2x + 3 - (2x^2 -1) \right ) dx \newline\newline = \int_{-2}^1 \left(-2x^2 - 2x + 4 \right) dx \newline\newline = \left[ -\frac{2}{3} x^3 - x^2 + 4x\right]_{-2}^{1} \newline\newline =-\frac{2}{3}(1)^3 -(1)^2 + 4(1) +\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 -4(-2) \newline\newline = - \frac{2}{3} - 1 + 4 - \frac{16}{3} + 4 + 8 \newline\newline = -\frac{18}{3} + 15 \newline\newline = -6 + 15 \newline\newline \underline{\underline{= 9}}$

Arealet ble altså 9 i området mellom grafene. Dette stemmer med det GeoGebra regnet ut for meg ved å bruke kommandoen IntegralMellom[ ]

Skriv et svar til: Integral

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.