Akkurat nå er 95 pålogget.

Matematikk

Derivasjon- kjerne- og brøkregelen

14. november 2015 av Mathias1 (Slettet) - Nivå: Vgs

Heisann, jeg sitter litt i en knipe her. Skal derivere f(x)= \frac{x-4}{(5-3x)^2}, men klarer ikke å finne rett svar.

Vet at:

U=x-4

U'=1

V=(5-3x)^2

V'=-6(5-3x)

Når jeg setter dette inn i en brøkderivasjon, får jeg at svaret blir 6x-24/(5-3x)^3

I følge fasit skal det bli 3x-19/(5-3x)^3

Noen som kan hjelpe meg med å regne ut dette riktig? 


Brukbart svar (0)

Svar #1
14. november 2015 av Sigurd

Det ser ut som om du har regnet rett helt frem til innsetting i formelen for derivasjon. Jeg tror rett og slett at du har glemt at (5-3x)^2, som forkortes til (5-3x) vil legges til i telleren, for 5 - 3x + 6x - 24 = 3x - 19.

Formelen er, som du vet, 
\frac{u\cdot v' - u'\cdot v}{v^2}.

La oss gjøre et forsøk. Har her regnet steg for steg med kvotientregelen og kjerneregelen ved derivasjon av (5-3x)2. Det ser kanskje litt voldsomt ut, men jeg har gjort alt veldig nøye, steg for steg, slik at det bør være greit å følge hva som skjer fra linje til linje. (EDIT: Det var nok kanksje smartere som du gjorde å først regne ut u, v, u', v', og så sette inn). Spør hvis det er noe du lurer på.

\left(\frac{x-4}{(5-3x)^2}\right)' \newline\newline = \frac{(x-4)'\cdot (5-3x)^2 - (x-4)\cdot [(5-3x)^2]'}{[(5-3x)^2]^2} \newline\newline = \frac{1\cdot(5-3x)^2 - (x-4) \cdot 2(5-3x)\cdot(5-3x)'}{(5-3x)^4} \newline\newline = \frac{(5-3x)^2-(x-4)\cdot 2(5-3x)\cdot(-3)}{(5-3x)^4} \newline\newline =\frac{(5-3x)^2 + 6(x-4)(5-3x)}{(5-3x)^4} \newline\newline = \frac{(5-3x) + 6(x-4)}{(5-3x)^3} \newline\newline = \frac{5-3x + 6x - 24}{(5-3x)^3} \newline\newline = \underline{\underline{\frac{3x -19}{(5-3x)^3}}}


Svar #2
16. november 2015 av Mathias1 (Slettet)

Tusen takk for svar, hjalp meg veldig med oppgaven :) men må ærlig si at jeg aldri har hørt om at når (5-3x)^2 forkortes til (5-3x), blir (5-3x)^2 lagt til i telleren. Finnes det en regel for når man gjør dette og ikke? Har nå prøvd dette i \frac{x}{(2x+3)^2}, og jeg får 2x+3-4x/(2x+3)^3, når fasiten sier -(2x+3)/(2x+3)^3

Er helt på jordet når det gjelder dette, så alt av hjelp settes stor pris på.


Brukbart svar (0)

Svar #3
16. november 2015 av Sigurd

FØRST OG FREMST MÅ JEG BEKLAGE AT JEG SKREV FEIL FORMEL I FORRIGE INNLEGG. DET SKAL SELVSAGT VÆRE

\frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2}

___________________________________________________________________________

Når det er sagt; det er absolutt ikke noen generell regel at (5-3x)^2 forkortes, men hvis du ser på den femte linja i utregningen over (fjerde fra bunnen), legger du merke til at begge leddene i telleren inneholder en faktor (5-3x). Det gjør også nevneren. Da kan du dele på (5-3x) både oppe og nede i brøken og forenkle uttrykket. Det gjør det hele mye penere, og gjør regningen enklere. Mye oppgavetrening gjør at du etter hvert raskt ser hvor det er mulig å forkorte uttrykket!

La oss gjøre et forsøk på 
\frac{x}{(2x+3)^2}

Vi finner 
\newline u = x\newline u' = 1 \newline\newline v = (2x+3)^2\newline v' = 2(2x+3)\cdot(2x+3)' =2(2x+3)\cdot 2 = 4(2x+3)

Da kan vi bruke regelen for kvotientderivasjon igjen,
\newline \left( \frac{x}{(2x+3)^2}\right)' \newline\newline = \frac{\overset{{\color{Red} u'}}{{\color{Red} \overbrace{{\color{Black} 1}}}} \cdot \overset{{\color{Red} v}}{{\color{Red} \overbrace{{\color{Black} (2x+3)^2}}}}-\overset{{\color{Red} u}}{{\color{Red} \overbrace{{\color{Black} x}}}}\cdot \overset{{\color{Red} v'}}{{\color{Red} \overbrace{{\color{Black} 4(2x+3)}}}} }{\underset{{\color{Red} v^2}}{{\color{Red} \underbrace{{\color{Black} [(2x+3)^2]^2}}}}}\newline\newline\newline = \frac{(2x+3)^2- 4x(2x+3)}{(2x+3)^4}

Her ser du igjen at (2x+3) finnes i alle leddene i telleren og i nevneren, så hvis vi deler med (2x+3) både oppe og nede får vi forkortet brøken:

\newline\newline = \frac{(2x+3)-4x}{(2x+3)^3} \newline\newline = \frac{2x + 3 -4x}{(2x+3)^3}\newline\newline = \underline{\underline{\frac{3-2x}{(2x+3)^3}}}

Som du ser fikk jeg samme svar som deg. Eneste du trenger å gjøre er å trekke sammen 2x-4x til -2x. Hvis du har skrevet av fasiten riktig, mistenker jeg at de har gjort en parentesglipp (CAS i Geogebra bekrefter dette). Det er riktig om minustegnet flyttes inn i parentesen, dvs. (–2x+3)/(2x+3)^3.

Evt kan vi la minustegnet bli stående utenfor, men da må vi endre fortegnet til 3-tallet: –(2x–3)/(2x+3)^2, skrevet som brøk.
-\frac{2x-3}{(2x+3)^3}


Svar #4
16. november 2015 av Mathias1 (Slettet)

Takk for svar igjen :) Fant ut av det til slutt, ble rett og slett bare blindet av at 2x+3 stod i en parantes ??

Skriv et svar til: Derivasjon- kjerne- og brøkregelen

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.