Akkurat nå er 41 pålogget.

Matematikk

Grenseverier

07. februar kl. 21:06 av AMK (Slettet) - Nivå: Vgs

Trenger litt hjelp til å forstå det grunnleggande rundt grenseverdiar.

a)     \lim_{x->2} \frac{3x^2}{x-2}

b)  \lim_{x->1} \frac{2x^2-10x+8}{2x-2}


Brukbart svar (0)

Svar #1
07. februar kl. 22:20 av Sigurd

En grenseverdi er den verdien et uttrykk/en funksjon nærmer seg når vi nærmer oss en verdi på x-aksen. x blir aldri nøyaktig den verdien vi ser på, bare veldig nære. Ser vi på grenseverdien når x går mot 2, lar vi altså x bli svært nær 2 (så nærme som overhodet mulig), men aldri helt 2.

I prinsippet kan vi ta grenseverdier av alle funksjoner, f.eks. f(x) = 2x. Så kan vi se på grenseverdien når x går mot 2. Hva vil f gå mot da? Jo, åpenbart mot f = 4. (men den blir aldri helt 4, bare veldig nærme)

Men det er ikke alltid vi har "lov" til å sette inn tallet direkte for å finne grenseverdien. Et klart eksempel på det er oppgave a). Setter du inn x=2 står det jo (2-2 = 0) i nevner, og å dele på null er ikke definert! Vi ser derimot at telleren går mot 3*22 = 3*4 = 12. Så telleren nærmer seg 12 mens nevneren nærmer seg null (men i en grenseverdi blir den aldri helt null, bare veldig nære!)
Et vanlig tall (12) delt på et utrolig lite tall (f.eks. 0.0000000000000001, så nærme null vi kommer uten at det blir null), blir et kjempestort tall. a) vil altså gå mot uendelig. Noen sier at grenseverdien er "uendelig" - andre sier at den ikke eksisterer.

Hvis vi tegner grafen i GeoGebra ser vi det veldig tydelig. Når x går mot 2 vil grafen gå mot uendelig.

Legg merke til at grenseverdien er forskjellig (-uendelig og +uendelig) om vi kommer fra venstre eller fra høyre. Grunnen til det er at hvis vi velger å gå mot 2 fra høyre, så blir x-vedien aldri 2, men bittelitt større, altså 2.0000000000001. Da blir (x-2) i nevneren nesten null, men alltid bittelitt positiv.
Går vi fra venstre vil vi også gå mot 2, men x er alltid bittelitt mindre, 1.99999999999. Da blir nevneren x-2 bittelitt negativ.
Det at nevneren blir bittelitt positiv eller bittelitt negativ har altså stor betydning for grenseverdien!

I b) har vi et litt mer spennende tilfelle. Her går også nevneren mot null (2*1-2 = 0), mens telleren også går mot null (2*1-10+8 = 0). Da står det "null delt på null". Nå tar vi ingenting og deler på ingenting. Da kan vi i praksis få alt mellom himmel og jord, det kan bli null, det kan bli uendelig, det kan bli noe midt i mellom. Det kommer helt an på hva som går raskest mot null. Hvis telleren går mot null raskere enn nevneren, vil uttrykket bli null. Hvis nevneren går raskere mot null en telleren, vil uttrykket bli uendelig. Hvis de går omtrent like raskt, vil vi kunne få et helt vanlig tall.

Vi benytter ofte noen smarte "knep". På videregående kommer du langt med å forsøke å faktorisere uttrykket. Jeg faktoriserer telleren og forkorter helt til vi får et uttrykk som ikke har "ulovlig nevner". Da kan jeg sette inn:

\newline \lim_{x\rightarrow1}{\frac{2x^2-10x+8}{2x-2}} \newline = \lim_{x\rightarrow1}{\frac{2(x^2-5x+4)}{2(x-1)}} \newline = \lim_{x\rightarrow1}{\frac{(x^2-5x+4)}{(x-1)}} \newline = \lim_{x\rightarrow1}{\frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)}} \newline = \lim_{x\rightarrow1}{(x-4)} \newline = 1-4 \newline = -3

Her ser vi altså et eksempel på at "0 delt på 0" ble -3. Det er fordi vi aldri faktisk lar x bli 1, men vi lar x komme svært nærme 1. Legg merke til at disse regneoperasjonene (forkortingen) kun er lovlig hvis x aldri blir 1, bare veldig nærme 1. Fordi å dele på (x-1) i teller og nevner er ikke lov hvis x = 1. Men det er lov hvis x = 1.000000000001! Derfor må jeg skrive "lim" helt til nest siste linje.

Grafen i GeoGebra viser tydelig at når x går mot 1, vil funksjonen gå mot -3. Men GeoGebra kan lure oss litt, for akkurat i punktet x = 1 er det ingen verdi for funksjonen. Den eksisterer ikke her. Bare når vi går veldig nærme.

Det krever litt trening å se slike "knep" som jeg gjorde her, men faktorisering er ofte en bra ting! :)

For å vise et eksempel til på grenseverdi, se på denne funksjonen:

f(x) = \left\{\begin{matrix}-2 \text{ for } x < 0 \\ 0 \text{ for } x = 0 \\ +1 \text{ for } x > 0 \end{matrix}\right.

Den er tegnet under, og har altså forskjellige verdier, avhengig av om x er mindre enn, lik eller større enn null.

La oss se på grenseverdien når x går mot null fra venstre. Da x aldri blir helt null, vil den alltid være bittelitt negativ, x = -0.00000000001. Da er funksjonsverdien -2. Så grenseverdien når x går mot null fra venstre er -2:

\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) = -2

Grenseverdien når vi kommer fra høyre, er derimot veldig nærme null, men alltid litt større enn null, så x = +0.0000000000001. Da er funksjonsverdien +1. Så grenseverdien når x går mot null fra høyre er +1:

\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = +1

Den faktiske verdien til funksjonen er derimot null i x = 0.

f(0) = 0

Dette er altså et ganske godt eksempel for å  illustrere grenseverdi. Her er grenseverdien når x går mot null fra høyre og fra venstre to helt forskjellige, og begge er forskjellige fra den faktiske verdien i x = 0. (Det er fordi denne funksjonen ikke er kontinuerlig, den "gjør et hopp").

Håper dette hjelper litt med forståelsen av grenseverdi. Spør gjerne igjen om du lurer på noe!


Brukbart svar (0)

Svar #2
07. februar kl. 23:15 av Sigurd

Bildene forsvant dessverre - upålitelig bildelagring. Prøver en annen og håper de blir værende denne gangen. 

Hvis bildene forsvinner igjen, får du prøve å tegne dem i GeoGebra selv! ;-)


Svar #3
08. februar kl. 18:07 av AMK (Slettet)

Tusen takk for veldig rask og grundig respons! Dette hjelpte meg masse! :)


Skriv et svar til: Grenseverier

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.