Akkurat nå er 246 pålogget.

Matematikk

Skriv så enkelt som mulig

01. april kl. 17:15 av Grublert - Nivå: Vgs

Skriv så enkelt som mulig:

1) e^{^{ln(1/2)+ln(2)}}

2)

 32^{\frac{2}{5}}\cdot 4a\cdot \left ( \frac{1}{a}\right )^{2}

Trenger løsningsforslag på de to her, med forklaring om hva som foregår. Takk utrolig mye for hjelpen! :)


Brukbart svar (1)

Svar #1
01. april kl. 18:12 av Sigurd

1) La oss først huske hva en naturlig logaritme er.

Den naturlige logaritmen til et tall a er det tallet du må opphøye e i for å få a.
Med andre ord: e^{\ln{a}} = a

Dette må vi forsøke å bruke! Men denne sammenhengen sier ikke noe om hva vi skal gjøre hvis det står en sum av to logaritmer i eksponenten, som det gjør i din oppgave. Vi må derfor prøve å skrive om uttrykket slik at vi får uttrykk på formen e^{\ln{a}}.

Da kan vi benytte denne hendige egenskapen ved potenser:

En sum av eksponenter, er det samme som multiplikasjon av potenser. 
Med andre ord: x^{a+b} = x^a\cdot x^b

Ved å benytte dette, kan vi kvitte oss med summen i eksponenten og skrive om til et produkt av to tall på formen e^{\ln{a}}.

e^{\ln{(1/2)}+\ln{(2)}} = e^{\ln{(1/2)}} \cdot e^{\ln{2}}

Nå kan vi benytte logaritmeegenskapen e^{\ln{a}} = a på hver av faktorene.

e^{\ln{(1/2)}+\ln{(2)}} = e^{\ln{(1/2)}} \cdot e^{\ln{2}} = (1/2) \cdot 2 = 1

Nå ble det i allefall énkelt! ;-)

2) I denne oppgaven kan det være nyttig å legge merke til at 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5

Da får vi at 32^\frac{2}{5} = (2^5)^\frac{2}{5}

Nå kan vi bruke følgende hendige egenskap ved potenser:

En potens opphøyd i en eksponent, svarer til potensen med produktet av eksponentene.

Med andre ord: (x^a)^b = x^{a \cdot b}

Dermed er

32^\frac{2}{5} = (2^{5})^{\frac{2}{5}}=2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4

Dessuten har vi denne hendige egenskapen for brøk-potenser:

En brøk opphøyd i en eksponent, er det samme som å opphøyde både telleren og nevneren i eksponenten.
Med andre ord: \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}

Det kan du benytte på den siste brøken din. Jeg lar det nå prøve å sette dette sammen og skrive så enkelt som mulig på egenhånd. Hvis du står fast, vis hva du har gjort, så ser vi på det sammen! :-) 


Skriv et svar til: Skriv så enkelt som mulig

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.