Akkurat nå er 38 pålogget.

Matematikk

1T - Logaritme ligninger

23. juni 2017 av ymse - Nivå: Vgs

Skjønner ikke løsningsforslaget i boka.

(log\, x)^3-(log\, x)^2-2\, log\,x=0 \\ log\,x((log\,x)^2-log\,x-2) =0

Dette er ikke hele løsningsforslaget, men første trinn.


Brukbart svar (1)

Svar #1
24. juni 2017 av Sigurd

La oss bytte ut log x med u.

\log{x} = u

Da blir likningen seende slik ut:
u^3 - u^2 - 2u = 0

Dette er en tredjegradslikning. Vi har ingen (enkel) tredjegradsformel (slik som vi har andregradsformelen). Men siden alle ledd inneholder u, kan vi faktorisere en u utenfor en parentes.

Andre linje i løsningsforslaget, omskrevet med u, blir derfor
u(u^2 - u - 2) = 0

Hvis du er usikker på dette steget, prøv å gange inn parentesen igjen og se at det blir den første linjen. Grunnen til at vi gjør dette "knepet" er for å kunne løse tredjegradslikningen. Nå har vi nemlig delt den opp i en førstegradslikning og en andregradslikning:

For at venstre side av likningen skal være lik høyre side av likningen (null), må enten u være lik null, eller
(u2 - u - 2) være lik null. Så en mulig løsning er
u = 0
Men u er jo definert som logaritmen av x

u = 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \log x = 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x = 10^0 = 1

De andre løsningene finner vi ved å løse
u^2 - u - 2 = 0
 med andregradsformelen. Det gir to mulige løsninger,
u = -1 \text{ eller } u = 2.
Men siden u = log x, har vi altså 
\newline\log x = -1 \text{ eller } \log x = 2 \newline \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\Downarrow\newline x = 10^{-1} \text{ eller } x = 10^2 \newline \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\Downarrow\newline x = 1/10 \text{ eller } x = 100

Jeg håper det kanskje ble litt klarere nå? Det som gjøres i trinnet i løsningsforslaget, er altså ikke noe annet enn det jeg har gjort med u. En faktor (log x) er satt utenfor en parentes for å gjøre det mulig å løse tredjegradslikningen.


Svar #2
24. juni 2017 av ymse

Tusen takk for et utrolig bra svar. Skjemmes litt når jeg skjønte hvor enkelt det var :)

Skriv et svar til: 1T - Logaritme ligninger

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.