Derivasjonsoppgave se bilde

Forslag: Kan du finne et generelt uttrykk for radien av vannspeilet som funksjon av høyden til vannkjeglen, r(h(t))? (TIPS: Se kjeglen fra siden, bruk formlikhet på trekanter og størrelsene du kjenner)

Når du har funnet et slikt uttrykk for radien, og du kjenner høyden h(t) av vannkjeglen, kan du finne volumet av vannkjeglen som funksjon av høyden V(h(t)). Derivasjon mhp tid (husk høyden avhenger av tid, så du trenger kjerneregel), bør da gi volumendringen per tid.

TIPS: Regn om alle størrelser til desimeter, slik at volumet blir målt i kubikkdesimeter (som er det samme som liter)

Hei hei takk for svar, denne oppgaven er langt fra de jeg er vandt til å tenke , tenker som slikt at sett på kjeglen som en likebeint trekant da radien er 1meter +1meter er 2 meter som den ene siden av trekanten og høyden 4 meter dvs hyp blir roten av fem med tallene 1 og 4, regner ut ene vinkel mellom radien og hyp som da blir arctan 4/1= 75,96 grader, så hvis jeg da setter opp r(x)= X/4 som radien som funksjon av høyden, øker høyden øker radien , se bilde , tenker jeg ikke , kunne du løst denne for meg hvis jeg tenker feil , bare så jeg ser hvordan slike oppgaver løses, sittet lenge med denne

Yes! Det var dette jeg også tenkte. De to trekantene (hele kjeglen og vannkjeglen) er formlike, så dermed har de to katetene også samme forhold (eller, de har samme tangens til vinkelen som du regner – selv om du egentlig ikke trenger å regne ut denne vinkelen). Dermed blir R/H = r/h, eller 1/4 = r/h når vi setter inn tall, og r = h/4. Helt enig!

Så radien til vannspeilet avhenger av høyden til vannkjeglen r(h) = h/4.

Ha i mente at denne høyden h også avhenger av tiden. For ettersom tiden går og det fylles mer vann, vil høyden h stige. Og da stiger også radien. Dermed er både radien og høyden avhengige av tiden.

Det neste steget blir da å finne volumet til vannkjeglen.

Heisann takk for svar igjen ,tenkte du å putte r=h/4 inn i funksjon v(x) , har du en ide hvordan jeg skal få med tiden som en variabel i funksjonen v(x) sammen med r. , stopper helt opp på denne igjen , jeg kommer til å regne mange slike oppgaver av denne typen for å tenke riktig vider tror jeg,

For det første trenger du egentlig ikke innføre variabelen x. Du kan godt fortsette å bruke h som variabel.

Siden h varierer med tiden, vil du automatisk få tiden med inn i uttrykket. Den er riktig nok "skjult" i h-en.

Vi trenger et uttrykk for volumet, V(h), fordi målet med oppgaven er å finne volumendringen/vannøkningen i liter per minutt. Hvis vi først finner volumet, kan vi derivere den (med hensyn på tid) for å finne volumendringen per tid.

SÅ: Hva er formelen for volumet av en kjegle med høyde h og radius r? Sett inn uttrykket for r som du fant over, og du får volumet bare uttrykt ved h.

Slik ?

Yes! Nå er du veldig nære!

Men, nå har du derivert volumet med hensyn på høyden. Vi er jo ikke interessert i volumendring per høyde, men volumendring per tid.

Derfor må vi benytte at høyden avhenger av tiden, og så bruke kjerneregel:
V'(t) = V'(h) * h'(t) 

Da vet du alt. Du vet høyden til vannet h (dvs, du kan regne den ut), du vet endringen i høyden per tid h'(t), og du kan dermed finne V'(t).

En liten kommentar: Du har i den siste figuren din tegnet at h er 4 m. Det stemmer ikke. HELE kjeglen har høyde H = 4 meter, men vann-delen av kjeglen, som har høyde h, er mindre. Du har tegnet det riktig i den første figuren din. Siden du vet radien i vann-speilet er r = 0,5 meter, kan du bruke formelen du fant til å regne ut hva h er.

En liten kommentar til: Er 0,5 meter det samme som 50 desimeter?

Igjen takk for god hjelp,,,,,,kjempe,,,,se bilde på denne nå ,fant h ved å bruke. r= h/4. h =5dm* 4= 20 dm , satte inn høyden og fikk volumendring PR min , se bilde. Det stemmer nå ikke sant ????