Akkurat nå er 86 pålogget.

Matematikk

Fortegnsskjema

26. mai kl. 13.55 av oppgittstudent - Nivå: Vgs

Det er noe jeg lurer på men som jeg ikke klarer å finne igjen i boka. og det er når man lager fortegnskjema, så er det både heltrukkede og stiplede linjer, kan noen froklare meg når jeg ksla bruke hva? og jeg vet det har noe sammenheng med positivt og negativt, og de har vist noen eksempler ved å tegne pil ned og pil opp. Håper noen forstår hva jeg mener, uansett om jeg ikke har noe bilde å vise!


Brukbart svar (0)

Svar #1
26. mai kl. 16.27 av Sigurd

Hei.

Når en faktor er positiv, bruker vi heltrukken linje. Når en faktor er negativ, bruker vi stiplet linje.

F.eks. vil (x-1) være større enn null når x er større enn 1. Derfor ville fortegnslinjen se slik ut:

_______________1___________________________ x
(x-1)-------------------0___________________

Hvis det er flere faktorer som inngår i en funksjon, f(x), vil funksjonen være produktet av faktorene. Da kan du benytte fortegnsregler (minus ganger minus blir pluss, osv) til å regne ut fortegnet til funksjonen.

Hvis det er den deriverte du har funnet fortegnet til, så vet du at funksjonen stiger når fortegnet til den deriverte er positiv, og at funksjonen avtar når fortegnet er negativt.

Du kan finne mer info på f.eks. NDLA. Du kan f.eks. se denne artikkelen. Dessuten er det noen eksempler i denne artikkelen.


Brukbart svar (0)

Svar #2
28. mai kl. 17.00 av tuffla

Hei.

Fortegnsskjemaene brukes til flere ting, likninger, ulikheter, men kanskje mest grafer og funksjoner.

Ulikheter
Fortegnsskjema kan brukes effektivt til å finne ut når en ulikhet er større eller mindre enn null, f.eks.
x2 - 1 < 0. Vi kan, som Sigurd sier, faktorisere denne ulikheten til at (x + 1)•(x - 1) < 0. Vi finner at uttrykket i den første parntesen blir 0 når x=-1, og at den er <0 når x<-1, større en null når x>-1. Uttrykket i den andre parentesen blir 0 når x=+1, mindre enn null når x<+1, og større enn 0 når x>+1.

Vi kan tegne disse to parentesene som hver sin linje i et fortegnsskjema. Øverst i fortegnsskjemaet tegner man ei tall-linje som har med de viktige verdiene, under denne en "linje" som står for uttrykket i den første parentesen, og under denne igjen en linje som står for uttrykket i den andre parentesen. 

https://drive.google.com/file/d/1O4wYEPjgOKFaP6ITY8Cx0b6OPazQNydd/view?usp=sharing

I Geogebra classic kan man vise dette ved å først definere funksjonen f(x)=x2 - 1, tegne denne, og så skrive inn ulikheten (x2 - 1) < 0. Det merkede området viser området der uttrykket er mindre enn null.

http://nimb.ws/QrGgD0

Grafer og funksjoner
Når du jobber med grafer og funksjoner, brukes fortegnslinjen til å undersøke når funksjonen selv eller den deriverte eller den dobbelt-deriverte er null, eller når den har + eller - som fortegn, og hvor fortegnet skifter.

For funksjonen finner du da nullpunkter, du finner ut hvor grafen ligger over (+) eller under (-) x-aksen.

For den deriverte har du "ekstremalpunkter" der den er null, dvs. topp- eller bunnpunkter for grafen.
Ved å undersøke om den deriverte skifter fra - til + eller + til -, kan du bestemme at dette er (lokale)
bunnpunkt (- til+) eller toppunkt (+ til -).

For den dobbelt-deriverte brukes fortegnsskjema til å finne ut når grafen krummer oppover. Når den dobbelt-deriverte er +, krummer grafen oppover (den har U-form), når den dobbelt-deriverte er -, krummer grafen nedover (den har ∩ - form). Når den dobbelt-deriverte er null, har vi noe som kalles et vendepunkt for grafen, der den skifter fra å bue oppover til å bue nedover, eller omvendt.

Ekempel: En tredjegrads-funksjon

Man kan bruke den dobbelt-deriverte og de andre to på mange grafer, men det er kanskje mest interessant i første omgang å se på tredjegrads-uttrykk. Se f.eks. på funksjonen (eksemplet er hentet fra analyzemath.com):

f(x)=x^{3}+3x^{2}-x-2

Når vi tegner funksjonen i f.eks. Geogebra, ser den slik ut.

Vi ser at denne funksjonen har nullpunkter (f(x)=0) i
x=-2, x=-1 og x=+1. 

Siden vi har disse nullpunktene, vet vi at funksjonen kan faktoriseres slik:
(x + 2) (x + 1) (x - 1)

Tegner vi fortegnslinja til funksjonen, finner vi at den er negativ for x<2 og for -1<x<1. 
Den er positiv fra x=-2 til x=-1, og positiv når x>1. 

Den deriverte og ekstremalpunkter:
Når vi deriverer funksjonen, får vi at
f'(x)=3x^{2}+4x-1

Nullpunktene til denne kan finnes med andregradslikningen, 

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{-4\pm 2\sqrt{7}}{6}\\\\ Fra\: dette\: kan\: vi\: regne \: ut\: at \: x_{1}\approx -1,55\: og\: x_{2}\approx 0,22

Så disse er nullpunktene for den deriverte. Disse nullpunktene er det vi kaller for ekstremalpunkter, de vil enten være (lokale) toppunkter eller (lokale) bunnpunkter for grafen.

Den deriverte kan skrives (omtrent) som:

f '(x)=3•(x+1,55)(x-0,22)

His vi tegner fortegnslinjer, ser vi at f '(x) er positiv fra minus uendelig til -1,55, så negativ fra -1,55 til 0,22, og så positiv igjen fra 0,22 og oppover. 

Siden grafen stiger fram til -1,55, må f(-1,55) være et (lokalt) topp-punkt, og siden grafen synker fra -1,55 til 0,22, så må f(0,22) være et (lokalt) bunnpunkt for grafen.

Vi ser at begge disse ekstremalpunktene er lokale ekstremalpunkter, fordi grafen stiger mot uendeling til høyre for x=0,22, og den synker mot minus uendelig til venstre for x=-1,55.

Den dobbelt-dervierte og krumming
Når vi deriverer den deriverte, får vi den dobbelt-deriverte. Så la oss gjøre det:

f''(x)=6x +4

Dette kan ganske greit faktoriseres til
 6(x+\frac{2}{3})

Hvis vi lager fortegnslinjer her, finner vi at den dobbelt-deriverte er negativ fra minus uendelig opp til x=-2/3, så blir den positiv. 

Dette betyr at grafen har et såkalt vendepunkt i x=-2/3. Her skifter den fra å krumme nedover (hå U-form) til å krumme oppover (ha ∩-form).

Håper dette hjelper, men det kanskje bare forvirrer, hvis du ikke har hatt om derivert og dobbelt-derivert?


Brukbart svar (0)

Svar #3
28. mai kl. 17.14 av tuffla

Du kan finne nullpunkter for en funksjon som den over ved polynomdivisjon også, uten å bruke graftegner. Du prøver og feiler deg fram til å finne ett av nullpunktene (eller bruker Geograbra, hvis du vil gjøre det raskt). La oss si at du finner at et nullpunkt, der f(x)=0 er i x=-2. Da kan du dele hele funksjonsuttrykket på (x+2). 

Det krever en del øvelse å utføre dette, se NDLA.

Deler du her, finner du at (x3 + 2 x2 - x - 2) : (x + 2) = x2 -1, og det er det uttrykket vi hadde i ulikheten øverst, så da får du at f(x) = (x + 2) (x - 1) (x + 1)


Brukbart svar (0)

Svar #4
28. mai kl. 17.21 av tuffla

Beklager at funksjonsuttrykket nevnt øverst ble skrevet feil første gang, det skal være at
f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+2


Skriv et svar til: Fortegnsskjema

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.