Matematikk

Integrasjon

12. august 2018 av Hannan - Nivå: Vgs

Jeg trodde jeg forstod hvordan man integrerer med å bruke kjerneregelen da jeg gjorde a oppgaven. Tenkte at x deriverte var 1. Men på b ser jeg at jeg har tenkt feil for jeg deriverte 2x og fikk da 2 men i fasiten ( vedlagt) så har de kommet fram til 1/2?

Vedlagt fil: image.jpg

Brukbart svar (0)

Svar #1
14. august 2018 av Janhaa

intet bilde...

Svar #2
15. august 2018 av Hannan

Her er oppgaven :)

Vedlagt fil:image.jpg

Brukbart svar (0)

Svar #3
15. august 2018 av Janhaa

$I=\int \frac{dx}{2x+1}$

u = 2x+1

du = 2 dx

$I=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=0,5 \ln|u|+c=0,5 \ln|2x+1|+c$

Svar #4
15. august 2018 av Hannan

Takk. Men skjønner ikke hva du er? Ser ut som om du var deriverte 2x+1? I så fall hvorfor blir 1/2 den antideriverte til kjernen? Budd det ikke vært x^2 +x hvis kjernen er 2x +1?

Brukbart svar (0)

Svar #5
15. august 2018 av Janhaa

hmmm...

deriverer RHS i nederste linje i posten min over:

(0,5*ln(2x+1)+c)' = 0,5*(1/(2x+1))*2 = 1/(2x+1)

dvs integranden i oppgava...altså rett

PS: integranden din er IKKE x^2+x.

er du i tvil om du har integrert riktig, deriver uttrykket ditt (høyre sida),

og sammenlikne med integranden (funksjonen bak integraltegnet).

Brukbart svar (0)

Svar #6
16. august 2018 av tuffla

Integrasjon med den omvendte kjerneregelen krever en del erfaring og hardt arbeid. Du bør regne gjennom en god del regneeksempler / løste oppgaver og du må ha for hånden lister over derivasjonsregler og integrasjonsregler.

Ideen er at hvis det du skal integrere kan deles i to faktorer (som er to ledd ganget med hverandre), og du kan skrive det ene av disse leddene (uttrykkene) som den deriverte av det andre leddet, så kan du bruke den omvendte kjerneregelen til å integrere uttrykket.

Ideen her, det Janhaa gjør, er å se på uttykket som skal integreres, dvs. det som står til høyre for integrasjonstegnet. Der står det:

$\tfrac{dx}{2x+1}$

Dette er egentlig helt det samme som:

$\tfrac{1}{2x+1}\, dx$

Hvis vi nå også sløyfer å se på dx bakerst, så er det dette uttrykket som skal integreres:

$\tfrac{1}{2x+1}$

Dette er en brøk, og en brøk kan alltid skrives som et eller annet tall ganget med et tall delt på nevner. Så om vi skriver:

$\frac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{2x+1}$

eller for eksempel at:

$\frac{1}{3} \cdot \tfrac{3}{2x+1} \: eller\: \frac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{2x+1} \: eller\: \frac{1}{9} \cdot \tfrac{9}{2x+1}$

så vil vi alltid få at disse uttrykkene alle kan skrives som det først uttrykket:

$\tfrac{1}{2x+1}$

Hvorfor velger Janhaa å bruke uttrykket

$\frac{1}{2}\, \cdot \, \tfrac{2}{2x+1}\, ?$

Jo, det er fordi han ser at hvis du deriverer nevneren, vil du få
tallet 2 som svar, med andre ord:

(2x + 1)' = 2

Dette gjør at uttrykket kan omskrives til

$\frac{1}{2}\, \cdot \, \tfrac{du}{u}\, = \, \frac{1}{2}\, \cdot \, \tfrac{1}{u}\,\cdot du$

Her er kjernen u = 2x +1, og den deriverte av kjernen er du= 2

Når denne omforminga er gjort, så kan man slå opp integrasjonsregelen for

$\tfrac{1}{x}\, som \, er\, ln\mid x\mid\, +\, C$

Før man kan gå videre, må man innse at den halve som står fremst i uttrykket:

$\frac{1}{2}\, \cdot \, \tfrac{1}{u}\,\cdot du$

ikke kan være med hvis dette skal stemme, så dette må holdes utenfor integrasjonstegnet.

Så når vi omkriver resultatet av integrasjonen kommer dette tilbake:

$\frac{1}{2}\, \cdot \, \int \tfrac{1}{u}\,\cdot du \, =\, \frac{1}{2}\, \cdot ln\mid u\mid\,\, +\, C =\, \frac{1}{2}\, \cdot ln\mid 2x+1\mid \, +\, C$

La oss si at vi skulle integrert et svært liknende stykke:

$\int \tfrac{dx}{5x-9}\,$

Vi kan da med en gang sette at

u = 5x -9, og du= 5

Vi kan da raskt omforme uttrykket til

$\frac{1}{5}\, \cdot \int \tfrac{du}{u}\,$

Og skrive løsninga ved å bruke integrasjonsregelen for 1/x (som er ln til absoluttveridien av x):

$\frac{1}{5}\, \cdot \int \tfrac{du}{u}\,=\, \frac{1}{5}\,ln\mid u\mid \, +\, C\, =\, \frac{1}{5}\,ln\mid 5x -9\mid \, +\, C\,$

Svar #7
16. august 2018 av Hannan

Tusen takk begge :)) hjalp meg

Skriv et svar til: Integrasjon

Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet. Klikk her for å logge inn.
Har du ikke en bruker på Skolediskusjon.no? Klikk her for å registrere deg.