Akkurat nå er 39 pålogget.

Privatlivspolitikk

Skolediskusjon.no › Kompendier › Matematikk › Regelbok Matte › Andregradslikning

Andregradslikning

En andregradslikning er helt essensiell innen matematikk. Derfor er det viktig å forstå hva en andregradslikning er og hvordan man løser dem. Man kan også skrive “2. gradslikning”, i denne teksten kommer vi til å veksle litt.

En andregradslikning er ofte ganske lik et andregradspolynom, men det skal vi dekke senere.

En 2. gradslikning er en likning med en ukjent x som er opphøyet i andre potens og av og til i første potens. Utenom den ukjente, x, inngår det også 3 reelle konstanter (a, b og c), også kalt for koeffisienter.

Andregradslikning - formel

Den generelle formelen for en andregradslikning ser slik ut:

ax^2 + bx + c = 0

a ≠ 0, fordi det ikke kan være en andregradslikning hvis a = 0.

x er den ukjente (opphøyet i andre og kanskje første potens)

a, b og c er reelle konstanter (vanlige tall)

For å kunne løse en 2.gradslikning skal det være en 0 på den ene siden av likhetstegnet.

For 2.gradslikninger er det slik at a er konstanten foran den ukjente opphøyd i andre potens x^2 . b er alltid konstanten foran den ukjente i første potens x, og c er en konstant.

Eksempel på en 2.gradslikning:

-2x^2 + 8x – 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Løs en andregradslikning

En andregradslikning kan ha 0, 1 eller 2 løsninger. Det avhenger av størrelsen på diskriminanten. Diskriminanten D = b^2 - 4ac er helt avgjørende i løsningen av en andregradslikning, da den er en del av ABC-formelen. Regner du ut D, går det fort å regne ut resten av ABC-formelen og finne løsningene til x.

En andregradslikning kan, som en funksjon av x, grafisk fremstilles som en parabel. Når en andregradslikning har to løsninger er de parabelenes skjæringspunkter med x-aksen. På samme måte som når man skal finne røtter til en andregradspolynom. Er det kun en løsning på andregradslikningen er det parabelens toppunkt og skjæring med x-aksen. Er det ingen løsninger så skjærer ikke parabelen med x-aksen.

Eksempel 1

En andregradslikning ser slik ut:

-4x^2 - 5x + 9 = 0

(a = -4, b = -5 og c = 9)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 9}}{2 \cdot (-4)}$
$\Updownarrow$
   $x = \frac{5 \pm \sqrt{(25 + 144}}{-8}$
$\Updownarrow$
   $x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-8}$
$\Updownarrow$
   $x = \frac{5 \pm 13}{-8}$
$\Updownarrow$
x = -2,25 eller x = 1

Andregradslikningens løsninger er: x = -2,25 eller x = 1.

Man kan dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

-4x^2 - 5x + 9 = 0
$\Downarrow$
-4(1)^2 - 5(1) + 9 = 0
$\Updownarrow$
-4 – 5 + 9 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = 1 er en løsning)

-4x^2 - 5x + 9 = 0
$\Downarrow$
-4(-2,25)^2 - 5(-2,25) + 9 = 0
$\Updownarrow$
-20,25 + 11,25 + 9 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = -2,25 er en løsning)

Eksempel 2

I dette tilfellet bruker vi den todelte formelen for å løse andregradslikningen:

-2x^2 + 8x - 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Først skal man finne D som er definert som: D = b^2 - 4ac

$D = 8^2 - 4\cdot(-2)\cdot(-6)$
$\Updownarrow$
D = 64 - 48
$\Updownarrow$
D = 16

Fordi D er større enn null er det to løsninger av 2. gradslikningen.

De finnes ved hjelp av $x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt {16}}{2\cdot(-2)}$
$\Updownarrow$
$x = \frac{-8 \pm 4}{-4}$
$\Updownarrow$
x = 1 eller x = 3

Andengradsligningens løsninger: x = 1 eller x = 3.

Som tidligere kan man dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

-2x^2 + 8x - 6 = 0
$\Downarrow$
$-2\cdot(1)^2 + 8\cdot(1) - 6 = 0$
$\Updownarrow$
-2 + 8 – 6 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = 1 er en løsning)

-2x^2 + 8x - 6 = 0
$\Downarrow$
$-2\cdot(3)^2 + 8\cdot(3) - 6 = 0$
$\Updownarrow$
-18 + 24 – 6 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = 3 er en løsning)

Skjulte andregradslikninger

La oss se på noen eksempler for omskrivningen av en andregradslikning. Alle disse ligningene er uttrykk for “skjulte” andregradslikninger som dere kan se i omskrivningene.

x(-2x + 8) = 6\ (x ganges inn i parantesen)
$\Updownarrow$
(6 trekkes fra på begge sider av likhetstegnett)
$\Updownarrow$
(x ganges inn i parantesen)
$\Updownarrow$
(Trekk 3x fra på begge sider og legg 7 til på begge sider)
$\Updownarrow$
(parantesene ganges ut)
$\Updownarrow$
(trekk fra på begge sider)
$\Updownarrow$
(legg 10x til på begge sider)
$\Updownarrow$
(gang ut parantesen)
$\Updownarrow$
(trekk 6x fra på begge sider)
$\Updownarrow$
(legg og 2 til på begge sider)
$\Updownarrow$

En andregradslikning kan forekomme på flere ulike måter. I eksempel 3 er det kun to ledd fordi c = 0. I eksempel 4 er det også kun to ledd fordi b = 0.

En avgjørende faktor i en andregradslikning er at det kun er en ukjent x som er opphøyet i (maksimalt) andre potens.

Se flere eksempler på de kommende sidene.

Innhold

Nyeste innlegg
lab (0)
U: Rektangler (1)
V: Feil i beskrivelse av derivasjon... (1)
V: Beregne proporsjonlkonstanten k (0)
utregning (1)

Populære innlegg
lab (0)
U: Rektangler (1)
V: Feil i beskrivelse av derivasjon... (1)
V: Beregne proporsjonlkonstanten k (0)
utregning (1)

Hjelp: FAQ | Hjelp

Se også: Studienett.no