Akkurat nå er 311 pålogget.

Andregradslikning

En andregradslikning er helt essensiell innen matematikk. Derfor er det viktig å forstå hva en andregradslikning er og hvordan man løser dem. Man kan også skrive “2. gradslikning”, i denne teksten kommer vi til å veksle litt. 

En andregradslikning er ofte ganske lik et andregradspolynom, men det skal vi dekke senere. 

En 2. gradslikning er en likning med en ukjent som er opphøyet i andre potens og av og til i første potens. Utenom den ukjente, x, inngår det også 3 reelle konstanter (a, b og c), også kalt for koeffisienter. 

Andregradslikning - formel

Den generelle formelen for en andregradslikning ser slik ut:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

\(a ≠ 0\), fordi det ikke kan være en andregradslikning hvis a = 0.

x er den ukjente (opphøyet i andre og kanskje første potens)

a, b og c er reelle konstanter (vanlige tall)

For å kunne løse en 2.gradslikning skal det være en 0 på den ene siden av likhetstegnet. 

For 2.gradslikninger er det slik at a er konstanten foran den ukjente opphøyd i andre potens \(x^2\). b er alltid konstanten foran den ukjente i første potens x, og c er en konstant. 

Eksempel på en 2.gradslikning:

\(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)

\((a = -2, b = 8\) og \(c = -6)\)

Løs en andregradslikning

En andregradslikning kan ha 0, 1 eller 2 løsninger. Det avhenger av størrelsen på diskriminanten. Diskriminanten \(D = b^2 - 4ac\) er helt avgjørende i løsningen av en andregradslikning, da den er en del av ABC-formelen. Regner du ut D, går det fort å regne ut resten av ABC-formelen og finne løsningene til x. 

En andregradslikning kan, som en funksjon av x,  grafisk fremstilles som en parabel. Når en andregradslikning har to løsninger er de parabelenes skjæringspunkter med x-aksen. På samme måte som når man skal finne røtter til en andregradspolynom. Er det kun en løsning på andregradslikningen er det parabelens toppunkt og skjæring med x-aksen. Er det ingen løsninger så skjærer ikke parabelen med x-aksen. 

Eksempel 1

En andregradslikning ser slik ut:

\(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)

\((a = -4, b = -5\) og \(c = 9)\)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot (-4) \cdot 9}}{2 \cdot (-4)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{5 \pm \sqrt{(25 + 144}}{-8}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-8}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{5 \pm 13}{-8}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -2,25\) eller \(x = 1\)

Andregradslikningens løsninger er: x = -2,25 eller x = 1.

Man kan dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

  \(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-4(1)^2 – 5(1) + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-4 – 5 + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)               \((x = 1\) er en løsning)

  \(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-4(-2,25)^2 – 5(-2,25) + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-20,25 + 11,25 + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)               \((x = -2,25\) er en løsning)

Eksempel 2

I dette tilfellet bruker vi den todelte formelen for å løse andregradslikningen:

\(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)

\((a = -2, b = 8\) og \(c = -6)\)

Først skal man finne D som er definert som: \(D = b^2 - 4ac\)

 \(D = 8^2 – 4\cdot(-2)\cdot(-6)\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 64 - 48\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 16\)

Fordi D er større enn null er det to løsninger av 2. gradslikningen.

De finnes ved hjelp av \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)

 \(x = \frac{-8 \pm \sqrt {16}}{2\cdot(-2)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{-8 \pm 4}{-4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 1\) eller \(x = 3\)

Andengradsligningens løsninger: \(x = 1\) eller \(x = 3\).

Som tidligere kan man dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

  \(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-2\cdot(1)^2 + 8\cdot(1) – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-2 + 8 – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)             \((x = 1\) er en løsning)

  \(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-2\cdot(3)^2 + 8\cdot(3) – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-18 + 24 – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)              \((x = 3\) er en løsning)

Skjulte andregradslikninger

La oss se på noen eksempler for omskrivningen av en andregradslikning. Alle disse ligningene er uttrykk for “skjulte” andregradslikninger som dere kan se i omskrivningene. 

  1.   \(x(-2x + 8) = 6\)   (\(x\) ganges inn i parantesen)
    \(\Updownarrow\)
      \(-2x^2 + 8x = 6\)    (\(6\) trekkes fra på begge sider av likhetstegnett) 
    \(\Updownarrow\)
      \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\)
     
  2.   \(x(5 – 4x) + 8 = 3x - 7\)   (\(x\) ganges inn i parantesen)
    \(\Updownarrow\)
      \(5x – 4x^2 + 8 = 3x - 7\)   (Trekk \(3x\) fra på begge sider og legg \(7\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \( -4x^2 +2x +15 = 0\)
     
  3.   \(4x(x +2 + x^2) = -2x(5 – 2x^2)\)   (parantesene ganges ut)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 8x + 4x^3 = -10x +4x^3\)   (trekk \(4x^3\) fra på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 8x = -10x\)   (legg \(10x\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 18x = 0\)
     
  4.   \(6x + 52 = 2x(-3x + 3) - 2\)   (gang ut parantesen)
    \(\Updownarrow\)
      \(6x + 52 = -6x^2 + 6x – 2\)   (trekk \(6x\) fra på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(52 = -6x^2 – 2\)   (legg \(6x^2\) og \(2\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(6x^2 + 54 = 0\)

En andregradslikning kan forekomme på flere ulike måter. I eksempel 3 er det kun to ledd fordi c = 0. I eksempel 4 er det også kun to ledd fordi b = 0.

En avgjørende faktor i en andregradslikning er at det kun er en ukjent \(x\) som er opphøyet i (maksimalt) andre potens. 

Se flere eksempler på de kommende sidene.