Akkurat nå er 276 pålogget.

Andregradslikning

En andregradslikning er helt essensiell innen matematikk. Derfor er det viktig å forstå hva en andregradslikning er og hvordan man løser dem. Man kan også skrive “2. gradslikning”, i denne teksten kommer vi til å veksle litt. 

En andregradslikning er ofte ganske lik et andregradspolynom, men det skal vi dekke senere. 

En 2. gradslikning er en likning med en ukjent som er opphøyet i andre potens og av og til i første potens. Utenom den ukjente, x, inngår det også 3 reelle konstanter (a, b og c), også kalt for koeffisienter. 

Andregradslikning - formel

Den generelle formelen for en andregradslikning ser slik ut:

ax^2 + bx + c = 0

a ≠ 0, fordi det ikke kan være en andregradslikning hvis a = 0.

x er den ukjente (opphøyet i andre og kanskje første potens)

a, b og c er reelle konstanter (vanlige tall)

For å kunne løse en 2.gradslikning skal det være en 0 på den ene siden av likhetstegnet. 

For 2.gradslikninger er det slik at a er konstanten foran den ukjente opphøyd i andre potens x^2. b er alltid konstanten foran den ukjente i første potens x, og c er en konstant. 

Eksempel på en 2.gradslikning:

-2x^2 + 8x – 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Løs en andregradslikning

En andregradslikning kan ha 0, 1 eller 2 løsninger. Det avhenger av størrelsen på diskriminanten. Diskriminanten D = b^2 - 4ac er helt avgjørende i løsningen av en andregradslikning, da den er en del av ABC-formelen. Regner du ut D, går det fort å regne ut resten av ABC-formelen og finne løsningene til x. 

En andregradslikning kan, som en funksjon av x,  grafisk fremstilles som en parabel. Når en andregradslikning har to løsninger er de parabelenes skjæringspunkter med x-aksen. På samme måte som når man skal finne røtter til en andregradspolynom. Er det kun en løsning på andregradslikningen er det parabelens toppunkt og skjæring med x-aksen. Er det ingen løsninger så skjærer ikke parabelen med x-aksen. 

Eksempel 1

En andregradslikning ser slik ut:

-4x^2 - 5x + 9 = 0

(a = -4, b = -5 og c = 9)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 9}}{2 \cdot (-4)}
\Updownarrow
  x = \frac{5 \pm \sqrt{(25 + 144}}{-8}
\Updownarrow
  x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-8}
\Updownarrow
  x = \frac{5 \pm 13}{-8}
\Updownarrow
  x = -2,25 eller x = 1

Andregradslikningens løsninger er: x = -2,25 eller x = 1.

Man kan dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

  -4x^2 - 5x + 9 = 0
\Downarrow
  -4(1)^2 - 5(1) + 9 = 0
\Updownarrow
  -4 – 5 + 9 = 0
\Updownarrow
  0 = 0               (x = 1 er en løsning)

  -4x^2 - 5x + 9 = 0
\Downarrow
  -4(-2,25)^2 - 5(-2,25) + 9 = 0
\Updownarrow
  -20,25 + 11,25 + 9 = 0
\Updownarrow
  0 = 0               (x = -2,25 er en løsning)

Eksempel 2

I dette tilfellet bruker vi den todelte formelen for å løse andregradslikningen:

-2x^2 + 8x - 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Først skal man finne D som er definert som: D = b^2 - 4ac

 D = 8^2 - 4\cdot(-2)\cdot(-6)
\Updownarrow
  D = 64 - 48
\Updownarrow
  D = 16

Fordi D er større enn null er det to løsninger av 2. gradslikningen.

De finnes ved hjelp av x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}

 x = \frac{-8 \pm \sqrt {16}}{2\cdot(-2)}
\Updownarrow
  x = \frac{-8 \pm 4}{-4}
\Updownarrow
  x = 1 eller x = 3

Andengradsligningens løsninger: x = 1 eller x = 3.

Som tidligere kan man dobbeltsjekke svaret ved å sette verdiene inn i andregradslikningen:

  -2x^2 + 8x - 6 = 0
\Downarrow
  -2\cdot(1)^2 + 8\cdot(1) - 6 = 0
\Updownarrow
  -2 + 8 – 6 = 0
\Updownarrow
  0 = 0             (x = 1 er en løsning)

  -2x^2 + 8x - 6 = 0
\Downarrow
  -2\cdot(3)^2 + 8\cdot(3) - 6 = 0
\Updownarrow
  -18 + 24 – 6 = 0
\Updownarrow
  0 = 0              (x = 3 er en løsning)

Skjulte andregradslikninger

La oss se på noen eksempler for omskrivningen av en andregradslikning. Alle disse ligningene er uttrykk for “skjulte” andregradslikninger som dere kan se i omskrivningene. 

  1.   x(-2x + 8) = 6\  (x ganges inn i parantesen)
    \Updownarrow
      -2x^2 + 8x = 6   (6 trekkes fra på begge sider av likhetstegnett) 
    \Updownarrow
      -2x^2 + 8x - 6 = 0
  2.   x(5 - 4x) + 8 = 3x - 7   (x ganges inn i parantesen)
    \Updownarrow
      5x - 4x^2 + 8 = 3x - 7   (Trekk 3x fra på begge sider og legg 7 til på begge sider)
    \Updownarrow
      -4x^2 +2x +15 = 0
  3.   4x(x +2 + x^2) = -2x(5 - 2x^2)   (parantesene ganges ut)
    \Updownarrow
      4x^2 + 8x + 4x^3 = -10x +4x^3   (trekk 4x^3 fra på begge sider)
    \Updownarrow
      4x^2 + 8x = -10x   (legg 10x til på begge sider)
    \Updownarrow
      4x^2 + 18x = 0
  4.   6x + 52 = 2x(-3x + 3) - 2   (gang ut parantesen)
    \Updownarrow
      6x + 52 = -6x^2 + 6x - 2   (trekk 6x fra på begge sider)
    \Updownarrow
      52 = -6x^2 - 2   (legg 6x^2 og 2 til på begge sider)
    \Updownarrow
      6x^2 + 54 = 0

En andregradslikning kan forekomme på flere ulike måter. I eksempel 3 er det kun to ledd fordi c = 0. I eksempel 4 er det også kun to ledd fordi b = 0.

En avgjørende faktor i en andregradslikning er at det kun er en ukjent x som er opphøyet i (maksimalt) andre potens. 

Se flere eksempler på de kommende sidene.