Akkurat nå er 111 pålogget.

Andregradspolynom

Et andregradspolynom er, som navnet tilsier, et polynom av andre grad. Den største potensen for x bestemmer graden. I dette tilfellet betyr det at den ukjente variabelen ikke kan være opphøyd i høyere enn andre potens og muligens første potens. Et polynom betyr en flerleddet størrelse og et andregradspolynom kan se slik ut: 

\[ax^2 + bx + c\]

\(a ≠ 0\), fordi det ikke er et andregradspolynom hvis a = 0. Da ville det kun vært et uttrykk for stigningen til linjen (link). 

x er den ukjente (opphøyd i andre potens)

a, b og c er reelle konstanter og kalles for koeffisienter, men legg merke til at a alltid er koeffisienten foran \(x^2\), b er alltid foran x og c er kun en konstant.

Et andregradspolynom er som ligning gitt ved denne formelen:

\[y = ax^2 + bx + c\]

Når man tar for seg et andregradspolynom er det som regel funksjonen for et andregradspolynom man skal regne ut. Funksjonen for et andregradspolynom ser sånn ut: 

\[p(x) = ax^2 + bx + c\]

Når man ser på funksjonen til et andregradspolynom kan det illustreres grafisk som en fordeling av punkter, der man får en funksjonsverdi når man setter inn x-verdiene. Funksjonsverdien vises som y-koordinatene. Når man avbilder funksjonen til et andregradspolynom blir det alltid grafisk fremstilt som en parabel

En grafisk fremstilling av et enkelt andregradspolynom der a = 1, b = 0 og c = 0 ser sånn ut:

Et annet eksempel på en funksjon av et andregradspolynom kan være:

\(p_0(x) = x^2 – 2x +7\).

Når man setter inn x = 1 får man verdien:

\(p_0(1) = 1^2 – 2 \cdot 1 + 7 ⇒ p_0(1) = 6\).

For x = 2 fås funksjonverdien:

\(p_0(2) = 2^2 – 2 \cdot 2 + 7 ⇒ p_0(2) = 7\)

For x = 3 fås funksjonsverdien: 

\(p_0(3) = 3^2 – 2 \cdot 3 +7 ⇒ p_0(3) = 10\)

For eksempel sier man at funksjonsverdien for 3 er 10. Dermed er \((x,p_0(x)\)) på den grafiske fremstillingen punktet (3,10).

Den grafiske fremstillingen av funksjonen for et andregradspolynom er, som nevnt tidligere, en parabel. En parabel er definert ved å være symmetrisk rundt et punkt som kalles toppunkt. Funksjonen til et avbildet andregradspolynom minner om en munn som enten er glad eller sur. En glad munn kalles for en konveks parabel og en sur munn kalles for en konkav parabel. 

Utover det kan man bestemme funksjonens skjæring med x-aksen og toppunktet. Toppunktet kan være både i toppen eller i bunnen av parabelen, som enten et minimum eller maksimum. 

Generelle betingelser for et andregradspolynom

På bakgrunn av koeffisientene a, b og c, eller med andre ord et andregradspolynoms funksjon, kan man bestemme følgende om den grafiske fremstillingen:

  • benene (parabelgrenene) vender opp/ en konveks parabel med et minimum som toppunkt
     
  • benene (parabelgrenene) vender ned/ en konkav parabel med et maksimum som toppunkt
     
  • jo lengre a er fra 0 desto brattere er grafen, både med positivt og negativt fortegn
     
  • b = 0 toppunktet ligger på y-aksen
     
  • a og b har samme fortegn: toppunktet til venstre for y-aksen
     
  • a og b har ulike fortegn: toppunktet til høyre for y-aksen
     
  • c: skjæring med y-aksen
     
  • b = c = 0: toppunktet ligger på x-aksen.

Skjæring med x-aksen for et andregradspolynom

Når man skal finne skjæringen/skjæringene med x-aksen settes \(p(x) = 0\).

Det betyr at \(ax^2 + bx + c = 0\), og dermed en andregradsligning

På samme måte som x representerer 0, 1 eller 2 løsninger i andregradsligningen, representerer det for et andregradspolynom de 0, 1 eller 2 x-koordinater for skjæringen med x-aksen, der (x,0).

Skjæringen med x-aksen kalles også for nullpunktene i et andregradspolynom. Nullpunkter for et andregradspolynom finnes på samme måte som ved en andregradsligning, ved bruk av diskriminanten D. 

\(D = b^2 - 4ac\)

Om D gjelder følgende:

Hvis \(D > 0\) er det to røtter/nullpunkter/skjæringer med x-aksen.

Hvis \(D = 0\) er det en rot/et nullpunkt/skjæring med x-aksen

Hvis \(D < 0\) er det ingen røtter/nullpunkter/skjæringer med x-aksen. 

X-koordinatene i skjæringen med x-aksen, der y = 0, kan finnes ved formelen:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)

Toppunktsformelen

Et andregradspolynom har, som nevnt tidligere, alltid et toppunkt som både kan være minimum eller maximum. 

Toppunktets koordinater (x,y) kan regnes ut med formelen: 

\(x = \frac{-b}{2a}\)

\(y = \frac{-D}{4a}\)

eller

Toppunktsformelen:

\[T = (\frac{-b}{2a}; \frac{-D}{4a})\]

Som vi ser ovenfor er det kun en skjæring med x-aksen som samtidig er et topptunkt, når D=0. 

Dermed har man gitt y-koordinatene for toppunktet. 

Etter all teorien kan det være godt å se på noen eksempler som kan forklare de utregningene litt mer praktisk. 

Eksempel 1

Funksjonen til et andregradspolynom er gitt ved:

\(p_1(x) = 2x^2 - 8x + 6\) 

\((a = 2, b = -8\) og \(c = 6)\)

På bakgrunn av de generelle betingelsene vi har nevnt tidligere vet vi derfor at:

  • Fordi a er større enn 0 vender benene (parabelgrenene) opp og toppunktet er et minimum. 
  • Fordi a og b har ulike fortegn er toppunktet til høyre for y-aksen. 
  • Skjæringen med y-aksen er punktet (0,6)

For å undersøke de presise betingelsene for grafen, som med skjæringen med x-aksen/nullpunkter, settes p1(x)=0. 

\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

\(a = 2, b = -8\) og \(c = 6\)

Deretter regner vi ut mulige løsninger for x ved å sette direkte inn i ABC-formelen.

  \(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{8 \pm \sqrt{(64 – 48}}{4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{8 \pm 4}{4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 3\) eller \(x = 1\)

Punktene \((x_1,y\)) og (\(x_2,y)\) for skjæringen med x-aksen er dermed: (1,0) og (3,0).

For å finne grafens toppunkt kan man bruke toppunktsformelen. 

x-koordinatene er definert som: 

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} ⇒ x = 2\)

y-koordinatene er definert som:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-16}{4 \cdot 2} ⇒ y = -2\)

Toppunktet er derfor: (2, -2)

Som man kan se i figuren under, stemmer de generelle betingelsene og de beregnede koordinatene for skjæringen med x-aksen og toppunktet stemmer overens. 

Eksempel 2

En funksjonsregel for et andregradspolynom er gitt ved:

\(p_2(x) = -3x^2 - 18x - 24\)

\((a = -3, b = -18\) og \(c = -24)\)

På bakgrunn av de generelle betingelsene om grafen til et andregradspolynom vet vi at:

  • Fordi a er mindre enn 0 vender benene (parabelgrenene) nedover med et maksimum som toppunkt. 
  • Fordi a og b har samme fortegn er toppunktet til venstre for y-aksen. 
  • Skjæringen med y-aksen er punktet (0, -24)

For å undersøke grafens skjæringspunkt med x-aksen og nullpunkter settes p2(x)=0.

\(-3x^2 - 18x - 24 = 0\)

Først finnes D som er definert som:

  \(D = b^2 – 4ac\)
\(\Downarrow\)
  \(D = (-18)^2 – 4\cdot(-3)\cdot(-24)\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 324 - 288\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 36\)

Fordi D er større enn 0 er det to skjæringspunkter i x-aksen. 

  \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)
\(\Downarrow\)
  \(x = \frac{-(-18) \pm \sqrt {36}}{2\cdot(-3)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{18 \pm 6}{-6}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -4\) eller \(x = -2\)

Punktene (\(x_1,y\)) og (\(x_2,y\)) for skjæringspunktene med x-aksen er derfor: (-4,0) og (-2,0).

For å finne grafens toppunkt skal man bruke toppunktsformelen.

x-koordinater er definert som:

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-(-18)}{2\cdot(-3)} ⇒ x = -3\)

y-koordinater er definert som:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-36}{4\cdot(-3)} ⇒ y = 3\)

Toppunktet er dermed (-3,3)

Når man tegner grafen for dette andregradspolynomet kan vi se på bildet at de generelle betingelsene og de beregnede koordinatene stemmer overens.