Akkurat nå er 19 pålogget.

Privatlivspolitikk

Skolediskusjon.no › Kompendier › Matematikk › Regelbok Matte › Annuitet › Annuitetslån

Annuitetslån

Det er ulike former for nedbetaling av lån. Vilkårene og betingelsene for nedbetaling vil være avgjørende for hvor stort lån man vil være i stand til å betjene, og derved for hvor mange penger man kan låne. De vanligste lånene i Norge er boliglån og forbrukslån. De vanligste låneformene er annuitetslån og serielån.

Hva er annuitetslån?

Hvis man tar opp et annuitetslån, betaler man like store beløp hver termin gjennom hele lånets løpetid, forutsatt at rentenivået er stabilt. Terminbeløpet består av renter på lånet og avdrag på selve gjelden. I begynnelsen er avdragsdelen av terminbeløpet liten og rentedelen stor. Etter hvert som lånet betales ned, blir rentedelen mindre og avdragsdelen større. Når man skylder mange penger, er de prosentvise renteomkostningene store. Jo lengre tid der går, dess mindre er beløpet det betales rente av, og gradvis kommer avdragene til å utgjøre mer og mer av terminbeløpet

Annuitetslån inngår som et hovedemne innen annuitet. En annuitetsberegning foretas for å regne ut hvilket faste beløp, inklusive (link) rente, man skal betale pr. termin for å nedbetale et lån, og for å beregne lånets løpetid.

Forskjellen på annuitetslån og serielån

Med et serielån betaler man like store avdrag hver termin, mens rentedelen varierer. Dette fører til at rentene er høye i starten, når restlånet er stort, og at rentekostnadene så blir stadig mindre etter som lånet minsker. Resultatet er at terminbeløpet blir mindre for hver termininnbetaling.

Det totale beløpet man må betale for et serielån er stort sett laver enn for et annuitetslån. Likevel er over 90% av alle boliglån i Norge annuitetslån. Grunnen til dette er at annuitetslån gir større forutsigbarhet og passer best for de flestes økonomiske livssyklus. Det vil ofte være den eneste muligheten man har for i det hele tatt å klare å betjene lånet i de første årene.

Når man kjøper bolig, kreves det som regel at man stiller med minst 15 % av beløpet i egenkapital. De resterende 85 % låner de fleste i banken. Renten på banklånet kan variere, men de aller fleste boliglån er annuitetslån.

terminbeløp = rente + avdrag

Annuitetslån formel

$G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$

G er lånets hovedstol, den fulle størrelsen på lånet

y er terminbeløpet, det faste beløpet man betaler hver termin

r er rentefoten pr. termin, angitt i desimaltall (diskonteringsrenten)

n er antall terminer lånet skal betales ned over

Formelen kalles på grunn av forkortelsene av og til GRYN-formelen eller gjeldsformelen.

Videre er det verdt å merke seg at r ikke kan isoleres, og derfor kan r ikke beregnes direkte (excel kan være til hjelp). Hvis renten er ukjent, må man prøve seg frem med forskjellige verdier av r til man kommer så tett på som mulig.

Denne formelen gjelder KUN når det er én rentetilskrivning og én nedbetaling pr. termin.

Hvis ikke, må renten omregnes slik at renten er angitt pr. termin. Hvis det er oppgitt en rente med for eksempel en kvartalsvis rentetilskrivning, men terminbeløpet skal betales pr. måned, må renten omregnes til en månedsrente. Det kan gjøres ved å bruke følgende formel:

$r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1$

r er den oppgitte rentesatsen

i er antall terminer pr. rentetilskrivning.

Ved en kvartalsvis rentetilskrivning med månedlige nedbetalinger, vil i derved være 3.

Man kan også regne ut den nåværende verdien på lånet med formelen for annuitetlån. I så fall skiftes G (hovedstolen) oftest ut med PV (present value eller nåtidsverdi):

$PV = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$

På denne måten kan man fortløpende beregne hvor mye som står igjen av lånet. Husk at n er antall terminer som gjenstår av lånet. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Mathilde betaler hver måned 8.475,74 kr. i terminbeløp til banken av boliglånet sitt. Lånet er et annuitetslån med 20 års varighet med en rente på 5,16 % pr. år (r = 0,0516) med månedlige nedbetalinger.

Først skal den månedlige renten regnes ut (i = 12):

   $r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1$
$\Downarrow$
   $r_{ny} = (1 + 0,0516)^{\frac{1}{12}} - 1$
$\Updownarrow$
   $r_{ny} = 0,004201536 ≈ 0,0042$ ≈ 0,0042

Hva er den totale størrelsen på annuitetslånet?

$r_{ny} = 0,0042$ (innsettes som r i formelen for annuitetslån)

$n = 20 \cdot 12 = 240$

   $G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $G = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-240}}{0,0042}$
$\Updownarrow$
   $G = 8.475,74 kr. \cdot 151,0192081$
$\Updownarrow$
   G = 1.279.999,54 kr.

Størrelsen på Mathildes annuitet i banken beregnes derfor til å være 1.280.000 kr (avrundet).

Det vil si at når Mathilde har betalt ned hele lånet, har det inklusive renter kostet henne:

$240 \cdot 8.475,74 kr. = 2.034.177,60 kr.$

Eksempel 2

Etter 5 år ønsker Mathilde å finne ut hvor stort beløp som gjenstår av det opprinnelige annuitetslånet på 1.280.000 kr.

Her skal man i forhold til terminer tenke på at etter 5 år av et 20-årig lån gjenstår det 15 år. Man regner ikke ut hvor mye man har betalt, men hvor mye som gjenstår å betale tilbake av lånet.

y = 8.475,74 kr.

r = 0,0042

$n = 15 \cdot 12 = 180$

Man bruker annuitetsformelen, men setter inn PV i stedet for G:

   $PV_5 = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $PV_5 = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-180}}{0,0042}$
$\Updownarrow$
   $PV_5 = 8.475,74 kr. \cdot 126,122669$
$\Updownarrow$
   PV_5 = 1.068.982,95 kr.

Størrelsen på Mathildes lån er fortsatt over en million etter 5 år, nærmere bestemt er lånets nåværende verdi = 1.068.982,95 kr.

Etter 5 år har Mathilde betalt 60 månedlige terminbeløp:

$60 \cdot 8.475,74 kr. = 508.544,40 kr.$ (terminbetalingene)

Men verdien av lånet er bare redusert fra:

1.280.000 kr. - 1.068.982,95 kr. = 211.017,05 kr. (avdrag)

Det vil si at annuitetslånets renteutgifter i de første 5 år har utgjort:

508.544,40 kr. - 211.017,05 kr. = 297.527,35 kr. (renter)

Etter 10 år ønsker Mathilde igjen å finne ut hvor stort beløp hun fortsatt skylder.

Etter 10 år gjenstår det 10 år:

$n = 10 \cdot 12 = 120$

   $PV_{10} = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $PV_{10} = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-120}}{0,0042}$
$\Updownarrow$
   $PV_{10} = 8.475,74 kr. \cdot 94,10777996$
$\Updownarrow$
   $PV_{10} = 797.633,07 kr.$

Størrelsen på Mathildes annuitetslån i banken etter 10 år er 797.633,07 kr.

Etter halve nedbetalingstiden har Mathilde ikke en gang betalt halvparten (640.000 kr.) av annuitetslånet sitt, men kun: 1.280.000 kr - 797.633,07 kr. = 482.366,93 kr.

Etter 15 år ønsker Mathilde å undersøke hvor mye hun fortsatt skylder.

Etter 15 år gjenstår det 5 år av det 20-årige lånet:

$n = 5 \cdot 12 = 60$

   $PV_{15} = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $PV_{15} = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-60}}{0,0042}$
$\Updownarrow$
   $PV_{15} = 8.475,74 kr. \cdot 52,93928187$
$\Updownarrow$
   $PV_{15} = 448.699,59 kr.$

Etter 15 år er nåverdien av Mathildes lån: 448.699,59 kr.

Dette eksempelet er tatt med for å illustrere at i begynnelsen av lånets løpetid er terminbeløpet primært renteomkostninger og i mindre grad avdrag på gjelden. Mot slutten av lånets løpetid er terminbeløpet primært avdrag og veldig små renteomkostninger.

Eksempel 3

Familien Andersen har kjøpt seg nytt hus. Huset kostet 1.795.000 kr. De stiller med 20 % av dette beløpet i egenkapital og låner(80 % i banken.

Hvor stort er annuitetslånet familien Andersens har tatt opp i banken?

$\frac{1.795.000 kr.}{100 \%} \cdot 80 \% = 1.436.000 kr.$

I banken avtaler de at lånet på 1.436.000 kr. skal nedbetales månedlig over 20 år, med en månedlig rente på 0,55 % (r = 0,0055).

Hva blir det månedlige terminbeløpet familien Andersen skal betale til banken?

Når det er terminbeløpet som skal regnes ut, må formelen for annuitetslån skrives om:

   $G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $G \cdot r = y \cdot (1 - (1 + r)^{-n})$
$\Updownarrow$
   $G \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}} = y$

Hovedstolen er derved lånets samlede størrelse på 1.436.000 kr.

r = 0,0055

$n = 20 \cdot 12 = 240$

   $y = G \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}$
$\Downarrow$
   $y = 1.436.000 kr. \cdot \frac{0,0055}{1 - (1 + 0,0055)^{-240}}$
$\Updownarrow$
   $y = 1.436.000 kr. \cdot 0,007514721$
$\Updownarrow$
y = 10.791,14 kr.

Familien Andersen skal nedbetale 10.791,14 kr. pr. måned på boliglånet sitt på dette annuitetslånet.

Eksempel 4

Herr Thorsen har kjøpt et nedlagt småbruk som kostet 895.000 kr. Han har spart opp 100.000 kr. som han bruker som egenkapital. De resterende 895.000 kr. - 100.000 kr. = 795.000 kr. låner han i banken som annuitetslån. Den månedlige renten på lånet er 0,38 % (r = 0,0038). Herr Thorsen betaler hver måned et terminbeløp på 6.410,97 kr.

Hvor mange år tar det for herr Thorsen å nedbetale annuitetslånet?

Når antall terminer skal regnes ut, må formelen for annuitetslån igjen skrives om:

   $G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$
$\Downarrow$
   $G \cdot r = y \cdot (1 - (1 + r)^{-n})$
$\Updownarrow$
   $\frac{G \cdot r}{y} = 1 - (1 + r)^{-n}$
$\Updownarrow$
   $(1 + r)^{-n} = 1 - \frac{G \cdot r}{y}$
$\Updownarrow$
   $-n \cdot \log(1 + r) = \log(1 -\frac{G \cdot r}{y})$
$\Updownarrow$
   $n = - \frac{\log(1 - \frac{G \cdot r}{y})}{\log(1 + r)}$

Etter omskrivningene, hvor man bl.a. benytter logaritmeregneregler, kan man foreta utregningene slik:

   $n = - \frac{\log(1 - \frac{G \cdot r}{y})}{\log(1 + r)}$
$\Downarrow$
   $n = - \frac{\log(1 - \frac{795.000 kr. \cdot 0,0038}{6.410,97})}{\log(1 + 0,0038)}$
$\Updownarrow$
   $n = - \frac{\log(0,528776457)}{\log(1,0038)}$
$\Updownarrow$

n = 167,9998443 ≈ 168

Dette er et annuitetslån som løper over 168 måneder, omregnet til år: $\frac{168}{12} = 14$ år.

Nyeste innlegg
V: Muntlig eksamen i R2 (0)
Balansere redoksreaksjon (0)
finn pH før titrering (0)
V: investeringsanalyse (0)
Reaksjonslikning titrering (0)

Populære innlegg
V: Muntlig eksamen i R2 (0)
Balansere redoksreaksjon (0)
finn pH før titrering (0)
V: investeringsanalyse (0)
Reaksjonslikning titrering (0)

Hjelp: FAQ | Hjelp

Se også: Studienett.no