Akkurat nå er 62 pålogget.

Derivasjonsregler

Ordet derivere kommer fra latin og betyr å avlede eller utlede. Den deriverte av en funksjon, også kalt differensialkvotienten, beskriver hvordan en funksjon stiger eller avtar. Den deriverte av en funksjon i et punkt forteller hvor mye funksjonen stiger eller avtar i akkurat dette punktet. Derivasjonsregler er formler for hvordan man skal derivere forskjellige funksjoner.

Derivasjon

Derivasjon kalles også differensiering. De to begrepene betyr det samme, og i denne artikkelen brukes de to begrepene som synonymer.

Derivasjon foregår ved at man, ved å bruke de forskjellige reglene for derivasjon, skaper en avledet funksjon av den funksjonen man deriverer. Hvis man har en funksjon f som man vil derivere, vil man ofte kalle dens deriverte funksjon \(f'\) (f merke).

På samme måte som med alle andre funksjoner, vil man kunne gi en derivert av en funksjon en x-verdi og få en y-verdi. For en derivert funksjon \(f'\) har y-verdien den betydningen at den sier hvilken stigning grunnfunksjon f har i punktet x. En derivert funksjon sier ikke noe om hvor vi er på grafen, men bare hvor mye vi stiger eller avtar.

Den deriverte til en funksjon

Den deriverte til en funksjon er en ny funksjon som er avledet fra en grunnfunksjon. f' er en ny funksjon som vi har avledet fra f. En derivert funksjon forteller hvor mye grunnfunksjonen stiger eller avtar for hver x-verdi.

Den deriverte av en funksjon i et punkt sier om den kurven man kan tegne på bakgrunn av funksjonen går opp eller ned. Hvis man velger et punkt på kurven og går litt fremover, kan man se om kurven er gått oppover eller nedover (y-verdien har steget eller avtatt). Man kan tegne en linje fra punktet til et punkt fremover på kurven, og denne linjens helling sier noe om kurvens helling i punktet. Den deriverte av en funksjon er hellingen av denne linjen når mellomrommet mellom de to punktene er bittelite. Dette kalles tretrinnsregelen.

Derivasjonsregler

Det finnes en rekke regneregler for derivasjon. I denne artikkelen skal vi gjennomgå de viktigste.

Derivasjon av konstant funksjon

Hvis man har en funksjon f som er konstant, det vil si at den er lik et tall a, er den deriverte funksjonen alltid lik 0.

f(x) = a

f'(x) = 0

Potensregelen

Hvis man har en funksjon f som er lik x opphøyd i en potens a, er funksjonens differensiale lik a ganger x opphøyd i a minus 1.

f(x) = x^a

f'(x)=a\cdot x^{a-1}

Derivasjon av kvadratrot

Hvis man har en funksjon f som er lik kvadratroten av x, er dens deriverte lik ½ ganger x opphøyd i minus ½.

f(x) = \sqrt x

f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}

Dette ser kanskje litt merkelig ut, men faktisk kommer denne regelen fra potensregelen. Matematisk er kvadratrot det samme som å ta et tall i halv potens. Når man vet dette, kan man se at vi bare har gjort det samme som i potensregelen, hvor a her er lik en halv.

Derivasjon av sum

Hvis man har en funksjon f som er lik summen av to funksjoner p og q, er dens deriverte lik den deriverte av p pluss den deriverte av q:

f(x) = p(x) + q(x)

f'(x) = p'(x) + q'(x)

Denne regelen gjelder på samme måte for subtraksjon. Altså, for en funksjon som er lik p minus q, er dens deriverte lik p' minus q'.

Derivasjon av produkt

Hvis man har en funksjon f som er lik produktet av to funksjoner p og q, og man vil finne den deriverte av funksjonen, skal man bruke produktregelen. Se artikkelen (link) Produktregelen.

Derivasjon av brøk

Hvis man har en funksjon f som er lik brøken p dividert med q, er dens deriverte lik den deriverte av p ganger q minus den deriverte av q ganger den deriverte av p dividert med q i annen potens:

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

f'(x)=\frac{p'(x)\cdot q(x) - q'(x)\cdot p(x)}{q(x)^2}

Derivasjon av sammensatt funksjon

Hvis man har en funksjon som er sammensatt av to andre funksjoner, bruker man den såkalte kjerneregelen. Se mer i vår artikkel Kjerneregelen.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er enkle å derivere. Man deriverer slik:

(sin(x))' = cos(x)

(cos(x))' = sin(x)

Eksempel på derivasjon av funksjon

Det første eksempelet på derivasjon av funksjon er en enkel andregradsligning. Vi kaller funksjonen f.

f(x) = x^2 + x + 5

Det første man må legge merke til, er at f er oppbygget av tre funksjoner. Fordi de er lagt sammen, skal vi i følge regelen for derivasjon av sum derivere hver funksjon for seg, og så legge de deriverte funksjonene sammen for å finne den deriverte.

  • x i annen potens blir med potensregelen til 2 ganger x.
  • x blir til 1, fordi x er det samme som x i første potens. Med potensregelen får vi da 1 ganger x i nulte potens. x i nulte potens gir alltid 1. Det vil si at vi har 1 ganger 1, som selvfølgelig er lik1.
  • den deriverte av 5 er 0, i følge regelen for derivasjon av en konstant funksjon.

Når vi deriverer f, får vi altså funksjonen f merke:

f'(x) = 2x + 1

Eksempel 2

I dette eksempelet har man en brøk og et produkt i funksjonen.

f(x) = \frac{4}{7 x^4}

Vi vet at vi skal bruke regelen for derivasjon av brøk, og derfor må vi finne den deriverte av hver av funksjonene for å kunne bruke regelen. Den deriverte av 4 er lik 0, i følge regelen for derivasjon av en konstant funksjon.

For funksjonen \(7x^4\) må vi bruke produktregelen. Fra produktregelen får vi den deriverte av 7 ganger x i fjerde potens, pluss 7 ganger x i fjerde derivasjon. Da den deriverte av syv er lik 0 gir dette:

0\cdot x^4 + 7 \cdot 4 x^3 = 28x^3

Altså er den deriverte av f lik:

f'(x) = \frac{0\cdot x^4 - 28x^3\cdot 4}{(28x^3)^2} = \frac{-112x^3}{784x^6} = -\frac{1}{7} \cdot x^{-3}