Akkurat nå er 62 pålogget.

Kjerneregelen

Kjerneregelen er en regel for derivasjon av sammensatte funksjoner i differensialregning. Kjerneregelen gjør det enklere å derivere kompliserte sammensatte funksjoner.

Sammensatt funksjon

En sammensatt funksjon er en funksjon som har en annen funksjon inni seg. Det vil si at på plassen hvor x normalt står, er det satt inn en annen funksjon. Hvis vi for eksempel har de to funksjonene f(x) og g(x), er følgende en sammensatt funksjon:

h(x) = f(g(x))

Vi kaller f den ytre funksjonen, og g den indre funksjonen. Man deriverer en sammensatt funksjon ved å bruke kjerneregelen:

h'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)

Man deriverer en sammensatt funksjon ved å begynne med den indre funksjonen, kjernen, som om det bare skulle stått x i stedet for funksjonen, og deriverer på vanlig måte. Så ganger man med den deriverte av kjernen.

Eksempel på sammensatt funksjon

Sammensatte funksjoner er veldig vanlige, og kjerneregelen gjør der mye enklere å beregne dem. For eksempel den følgende funksjonen:

\frac{1}{2x^2 + 3x + 9}-\frac{2}{9}

Denne funksjonen kan se ut som om den er veldig vanskelig å løse, men hvis man kikker litt på den, kan man se at det er en sammensatt funksjon.

\(f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{9}\) er den ytre funksjonen.

\(g(x) = 2x^2 + 3x + 9\) er den indre funksjonen.

Hver for seg er disse funksjonene enkle å derivere, og når man har derivert dem, kan man enkelt sette dem sammen ved å følge kjerneregelen.

Kjerneregelen derivasjon - eksempel

I eksempelet under deriverer vi en sammensatt funksjon ved å bruke kjerneregelen:

h(x) = sin(x^3 + 5x^2 + 2) + 4

\(f(x) = \sin(x) + 4\) (ytre funksjon)

\(g(x) = x^3 + 5x^2 + 2\) (indre funksjon)

La oss først derivere funksjonene hver for seg:

\newline f(x) = \sin(x) + 4 \newline f'(x) = \cos(x)

\newline g(x) = x^3 + 5x^2 + 2 \newline g'(x) = 3x^2 + 10x

Nå kan vi sette dem sammen igjen etter kjerneregelen:

h'(x) = \cos(x^3 + 5x^2 + 2) \cdot (3x^2 + 10x)

Den deriverte av den ytre med den indre innsatt ganget med den deriverte av den indre.