Differensiallikninger

Differensiallikninger er likninger som inneholder funksjoner som er differensiert. Løsningen på en differensiallikning er ikke en verdi, men en funksjon.

Differensiallikninger deles inn i forskjellige ordener etter hvor mange ganger funksjonen er differensiert. Differensiallikninger av 1. orden er differensiert én gang, differensiallikninger av 2. orden er differensiert to ganger, og så videre.

Det finnes forskjellige måter å løse differensiallikninger på. De fleste er veldig tekniske og vil ikke bli beskrevet i denne artikkelen. Ofte bruker man dataprogram, som for eksempel 'Maple', for å løse differensiallikninger.

Differensiallikning - Eksempel 1

Vi ønsker å regne ut denne differensiallikningen:

Løsningen på denne differensialligningen er:

Vi vet fra differensialregning at når vi differensierer en variabel som er ganget med en konstant, så får vi konstanten som resultat. Vi vet også at hvis vi differensierer en konstant som står alene, får vi null. Altså må differensiallikningen hvor y' = 9 komme fra en funksjon hvor 9x inngår. Siden vi ikke vet om grunnfunksjonen hadde en konstant, fordi disse forsvinner ved differensiering, er vi nødt til å tilføye en eventuell konstant c\ Dette c kan være et hvilket som helst tall. Derfor er løsningen: y = 9x + c

Differensiallikning - Eksempel 2

Vi skal løse denne differensiallikningen

Løsningen til denne differensiallikningen er:

Her brukes potensregelen omvendt. I stedet for å trekke 1 fra x-variabelens eksponent, legger vi til 1. Og i stedet for å gange med den forrige eksponenten, dividerer vi med den nye eksponenten. Så x (i første potens) blir til x i annen, og fire blir til to, fordi den er blitt dividert med to. Igjen må vi huske å tilføye konstanten c til ligningen, fordi konstanter forsvinner ved differensiering, og vi vet derfor ikke om en slik inngår.