Akkurat nå er 197 pålogget.

Kontinuitet

Kontinuitet er et viktig begrep i matematikk. Det betyr at en funksjons graf ikke har noen hopp. En graf er kontinuerlig hvis den er sammenhengende og ikke plutselig hopper fra et punkt til et annet uten punkter i mellom. Man skal altså kunne følge grafen med en blyant uten å måtte løfte blyanten fra papiret på noe tidspunkt.

Man kan også si at grafen er kontinuerlig hvis en liten endring i x-verdi alltid gir en forholdsvis liten endring i y-verdi.

Kontinuitet benyttes spesielt i derivasjon.

Det motsatte av kontinuitet er diskontinuitet, som betyr at grafen har hopp.

Man kan foreta en kontinuitetstest på en funksjon i et bestemt punkt ved å sammenligne verdien og grenseverdien i dette punktet. For punktet a i funksjonen f(x):

lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)

Hvis grenseverdien av f(x) når x nærmer seg a er lik f(a), er funksjonen kontinuerlig i dette punktet.

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde. Dette vil si at den må være kontinuerlig over hele grafen. Hvis en funksjons graf for eksempel har et hopp, kan den godt være kontinuerlig i alle dens punkter unntatt i det punktet hvor den hopper, men funksjonen vil ikke være kontinuerlig.

Eksempel 1: Kontinuerlig funksjon

Her viser vi to kontinuerlige funksjoner.


Eksempel på kontinuerlig funksjon. Denne grafen viser annengradsligningen x^2 - 3x = 0

Som man kan se er kurven jevn og uten hopp, og det er den over hele definisjonsområdet, som for denne funksjonen er alle tal. Faktisk er alle polynomer kontinuerlige.


Et annet eksempel på kontinuerlig funksjon. Grafen viser den absolutte verdien av den naturlige algoritmen.

Denne grafen ser litt mer spesiell ut. Den har en knekk ved x = 1, men den er fortsatt kontinuerlig. Det er nemlig ikke noen hopp i dens definisjonsområde.

Eksempel 2: Diskontinuerlig funksjon

Her er et eksempel på en diskontinuerlig funksjon.


Grafen viser funksjonen \(\frac{1}{x}\). Funksjonen er diskontinuerlig.

Denne funksjonen er diskontinuerlig fordi grafen hopper i punktet x = 0, og derfor har en diskontinuitet.