Akkurat nå er 63 pålogget.

Tangent

Ordet tangent kommer fra det latinske ordet tangere, som betyr å røre ved. I matematikk er en tangent en linje som tangerer, det vil si rører ved, en kurve i bare ett punkt og har samme helning som kurven i dette punktet.


Tangent (rød linje) på en kurve.

To kurver eller flater tangerer hverandre i et punkt hvis de har samme tangent eller tangentplan. I denne artikkelen skal vi bare beskrive tangentlinjer, ikke tangentplan.  

Hva er en tangent?

En tangent løper langs en kurve og rører den i bare ett punkt. Tett på dette punktet vil kurven og tangenten ligge nesten parallelt. Man kan også definere en tangent som grensestillingen for en sekant til kurven gjennom et punkt når et av sekantens andre skjæringspunkter med kurven nærmer seg det samme punktet.

En tangent har samme helning som kurven i det punktet hvor den rører kurven. Derfor vil en tangents helning være lik differensialkvotienten av funksjonen i dette punktet. Tangenten på en funksjonskurve viser altså hvor meget kurven stiger eller faller i berøringspunktet.

Dermed kan vi lage følgende tangent-formel for tangenten av funksjonen f(x) i punktet x0:

y= f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0)

Denne tangent-formelen har samme form som linjens ligning, y = ax + b, hvor a er f'(x0), b er f(x0) og x er skiftet ut med (x - x0).

Det er ofte vanskelig å tegne en tangent, for man må kjenne vinkelen som gjør det mulig at grafen for en funksjon kun berøres i ett punkt. Derfor bruker man ofte en sekant til å finne tangenten til en kurve i et punkt. Når sekanten går gjennom de to punktene A og B, vil sekanten nærme seg tangenten til kurven i punktet A når B nærmer seg dette punktet langs kurven. En annen måte man kan finne helningen på, er ved å differensiere kurvens funksjon.

Eksempel

Vi har en kurve over en tredjegradsligning:

f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 2

Vi ønsker å finne tangenten til x = -0,5.


Kurven av funksjonen f(x) = x3 + 4x2 + 4x + 2. Punktet x = -0,5 markert.

Vi kan differensiere funksjonen til:

f'(x) = 3x^2 + 8x + 4

For å kunne konstruere en tangent-formel, må vi finne funksjonsverdiene til funksjonen f(x) og den differensierte funksjonen f'(x) i punktet x = -0,5.

f(-0,5) = (-0,5)^3 + 4(-0,5)^2 + 4(-0,5) + 2 = -0,125 + 1 - 2 + 2 = 0,875

f'(-0,5) = 3 \cdot (-0,5)^2 + 8 \cdot (-0,5) + 4 = 0,75 + (-4) + 4 = 0,75

Dermed kan vi konstruere enda en formel:

y= f(-0,5) + f'(-0,5)\cdot (x + 0,5) = 0,875 + 0,75 \cdot (x + 0,5) = 0,75x \;+ 1,25

Vi har nå tangentens ligning: y = 0,75 x + 1,25 og kan tegne den inn i figuren.


Kurven med tangenten i x = -0,5 tegnet med rødt.

Helningen er 0,75 og skjæringen med y-aksen er 1,25, slik det fremgår av figuren ovenfor.