Akkurat nå er 303 pålogget.

Ellipse

En ellipse er en oval figur i geometri. Man kan også si at en ellipse har form som en sirkel som er trykket flat. Noen ganger ser man ordet stavet 'elipse', men dette er feil. Ordet ellipse kommer fra det greske ordet for utelatelse eller mangel.


Ellipse.

Ellipser er en av den type figurer som går under fellesbetegnelsen kjeglesnitt (sammen med sirkel, parabel og (link) hyperbel). De kalles kjeglesnitt fordi de fremkommer hvis man skjærer en kjegle over et bestemt plan.

Brennpunkt

Forskjellen på en sirkel og en ellipse er at mens sirkelen bare har ett sentrum, har en ellipse to. Disse kalles brennpunkt.


Ellipse med brennpunkt markert.

De to brennpunktene bestemmer hvordan ellipsen er utformet. Hvis det ene brennpunktet er langt fra det andre brennpunktet, er ellipsen bred. Hvis brennpunktene er nære hverandre, er ellipsen rund.

Den store aksen

Den store aksen er den rette (i dette tilfelle vannrette) linjen som både går gjennom begge brennpunktene og samtidig rører to punkter på ellipsens periferi. Den store aksen markerer det bredeste stedet, og den kan dermed også defineres som den lengste linjen man kan tegne i ellipsen.

Den lille aksen

Den lille aksen er den rette (i dette tilfelle loddrette) linjen som skjærer den store aksen på midten i en rett vinkel. Den lille aksen markerer altså høyden, eller den korteste linjen i ellipsen som rører periferien to steder. Se figuren nedenfor:


Stor akse (a) og liten akse (b) markert.

Eksentrisitet

Eksentrisiteten er forholdet mellom den lille aksen og den store aksen. Eksentrisiteten sier noe om hvor flat ellipsen er. Eksentrisitet er definert av hvor langt brennpunktene er fra hverandre. Jo lengre fra hverandre de er, jo bredere er ellipsen. Det betyr at den store aksen blir større og den lille aksen mindre.

Eksentrisitet beregnes som avstanden mellom brennpunktene dividert med den store aksens lengde. En ellipses eksentrisitet kan også beregnes med en formel hvor man bruker de to variablene a og b, som er ellipsens halvakser. a er halvparten av den store aksen og b er halvparten av den lille aksen.

Eksentrisitet = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

Eksentrisiteten er alltid et tall mellom 0 - 1.

Hvis eksentrisiteten er null, er de to brennpunktene i samme punkt. Vi har dermed en sirkel. Jo mere eksentrisiteten går mot en, jo bredere er ellipsen.

En ellipses areal kan beregnes ut fra halvaksene a og b med følgende formel:

Areal = \pi \cdot a \cdot b

Omkrets av ellipse kan beregnes med formelen:

Omkrets = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2)}

Superellipse

En superellipse er en spesiell figur som ikke egentlig er en ellipse, men en mellomting mellom en ellipse og et rektangel. Superellipsen ble brukt og gjort populær av den danske forfatteren og oppfinneren Piet Hein.


Superellipse.

Superellipsen defineres i et koordinatsystem med følgende ligning:

\left | \frac{x}{a} \right |^n + \left | \frac{y}{b} \right |^n = 1

a og b er superellipsens halvakser og n definerer hvor kantet eller ellipseformet den er. I en normal ellipse er n lik 2. Altså har vi i et koordinatsystem denne ellipseformelen:

\left ( \frac{x}{a} \right )^2 + \left ( \frac{y}{b} \right )^2 = 1

Eksempel

Dette er et eksempel på en ellipse med halvaksene a = 11 cm og b = 7 cm (den store akse = 22 cm og den lille akse = 14 cm).


Halvakser, a = 11 cm og b = 7 cm.

Vi beregner eksentrisiteten:

Eksentrisitet = \sqrt{1-\frac{7^2}{11^2}} = \sqrt{1-\frac{49}{121}} = \sqrt{0,60} = 0,77

Denne ellipsen har derfor en eksentrisitet på 0,77.

Vi beregner arealet:

Areal = \pi \cdot 11 \cdot 7 = 241,90

Målt i centimeter er arealet 241,90 cm^2.

Vi beregner til slutt omkretsen:

Omkrets = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (11^2 + 7^2)} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{85} = 57,93

Ellipsen har derfor en omkrets på 57,93 cm.