Hyperbel

En hyperbel er en kurve definert av en matematisk funksjon som har formen .

Her er a en konstant. Det kreves dessuten at x ≠ 0, fordi man ikke kan dividere med 0

Hyperbel av funksjonen \(y = \frac{1}{x}\).

Et av kjennetegnene på hyperbler er blant annet at x er forskjellig fra null. Det betyr nemlig at grafen aldri skjærer y-aksen, men kun nærmer seg den.

Vi sier i dette tilfelle at grafen har en vertikal asymptote omkring y-aksen, eller i x = 0. Fordi x ikke kan være null, vil det når y = 1/x innebære at y heller ikke kan være null. Dersom en hyperbel-funksjon ikke kan ta en bestemt y-verdi, sier vi at grafen har en horisontal asymptote.

En hyperbel er et av de fire kjeglesnittene, med eksentrisitet større enn 1. De tre andre kjeglesnittene er sirkler, parabler og ellipser.

Proporsjonalitet

I matematikk brukes begrepet proporsjonalitet om to størrelser som varierer slik at forholdet mellom størrelsene er konstant. Proporsjonalitet brukes i forbindelse med funksjoner. Alle funksjoner fungerer på den måten at når man setter inn et tall x i funksjonen, så gir funksjonen et tall y tilbake. Proporsjonalitet er en egenskap som handler om forholdet mellom x og y. En funksjon er proporsjonal hvis y stiger når x stiger, og y minker når x minker.

Å ha en proporsjonal funksjon betyr innen matematikk at det er et konstant forhold mellom x og y:

Her er a proporsjonalitetskonstanten. Uansett hvilken verdi a har, vil en proporsjonal funksjon alltid ha den egenskapen at når man setter inn høyere verdier av x i funksjonen, får man høyere verdier av y. Og når man gir x lavere verdier, får man lavere verdier av y.

Omvendt proporsjonalitet

Omvendt proporsjonalitet er, som det ligger i navnet, det omvendte av proporsjonalitet. Det vil si at en omvendt proporsjonal funksjon har den egenskapen at hvis x stiger, vil y minke. Og hvis x minker, vil y stige.

Å ha en omvendt proporsjonal funksjon betyr matematisk, på samme måte som for en proporsjonal funksjon, at det er et konstant forhold mellom x og y:

Her er a proporsjonalitetskonstanten som beskriver hvordan x og y stiger og minker i forhold til hverandre. Denne funksjonen kan også skrives med proporsjonalitetskonstanten på den andre siden av likhetstegnet:

Hvis a er positiv vil y ha samme fortegn som x. Det vil si at hvis man gir funksjonen en positiv verdi, får man en positiv verdi tilbake. Og hvis man gir funksjonen en negativ verdi, får man en negativ verdi tilbake.
Hvis a er negativ, vil y ha motsatt fortegn av x. Hvis man gir en positiv verdi til funksjonen, får man en negativ verdi tilbake. Og gir man funksjonen en negativ verdi, får man en positiv verdi tilbake.

En hyperbel er grafen av en funksjon som er omvendt proporsjonal.

Eksempel

Vi viser her et eksempel på en hyperbel.

Hyperbel kurve av funksjonen \(y = \frac{5}{x} + 1\).

Ovenstående figur er grafen for den omvendt proporsjonale funksjon:

Som man kan se, flytter addisjonen med tallet en i funksjonen (+1) grafen en opp på y-aksen. Denne hyperbelen har en horisontal asymptote i y = 1, og en vertikal asymptote i x = 0.