Akkurat nå er 312 pålogget.

Pyramide

En pyramide er en figur i romgeometri. En pyramide kan generelt defineres som en romfigur som går fra en geometrisk grunnflate opp i en spiss. Det vil si at en pyramide kan gå ut fra en trekant, en firkant eller hvilken som helst annen polygon.


Pyramide med firkant som grunnflate.

Hva er en pyramide?

En pyramide som går ut fra en trekant har fire sider: en grunntrekant i bunnen, og tre trekanter som går ut fra grunntrekantens sider opp i en felles spiss.

En firkantet pyramide har fem sider: en grunnfirkant og fire trekanter som går opp i en felles spiss. En pyramide som går ut fra en firkant er en klassisk pyramide, slik som vi kjenner fra pyramidene i Giza.

I forbindelse med pyramider i matematikk kaller vi polygonen i bunnen for grunnflaten.

I romgeometri kan man også komme over en beslektet figur hvor toppen av pyramiden er avskåret.

Volum av pyramide

Pyramiders volum beregnes ut fra arealet av grunnflaten og høyden av pyramiden. Høyden er lengden av det linjestykket som går vinkelrett fra pyramidens bunn til punktet i spissen. Volum kalles også romfang. I formler bruker man bokstaven V for volum.

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Her er G grunnflatearealet og h er høyden. Pyramidevolumet beregnes altså ved å multiplisere grunnflatearealet med høyden, og ta en tredjedel av dette.

Overflate pyramide

Overflateareal av pyramider er arealet av alle pyramidens sider lagt sammen. Hvordan man beregner overflatearealet kommer derfor an på hvilken polygon grunnflaten er. Hvis man beregner pyramider med et (link) kvadrat som grunnflate, er det forholdsvis enkelt å beregne overflatearealet. Arealet av et kvadrat er sidelengden ganget med seg selv, og arealet av trekanter er halvparten av grunnlinjen ganget med høyden.

Overflateareal = l^2 + 4(l \cdot h \cdot \frac{1}{2}) = l^2 + 2 \cdot l \cdot h

Husk at høyden (h) er høyden av trekantene, ikke høyden av pyramiden. Man kan lage lignende formler for andre pyramider med likesidete eller regulære grunnflatefigurer. Hvis grunnflaten ikke består av en regulær polygon, blir man nødt til å beregne hver sides areal for seg og så legge disse sammen.

Eksempel 1

Dette er en pyramide med en kvadratisk grunnflate.


Eksempel pyramide med en kvadratisk grunnflate, hvor sidelengden l er 8 cm og høyden h er 17 cm.

Vi beregner volumet med formelen. For å bruke formelen trenger vi grunnflatearealet G. For et kvadrat er grunnflatearealet lik sidelengden i annen potens:

G = 8^2 = 64

Dette gir oss:

V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 17 = 362,67

Pyramiden har altså et volum på 362,67 cm^3.

Overflatearealet kan beregnes med formelen ovenfor. Trekantenes (pyramidens sider) høyde er 18 cm.

Overflateareal = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot 18 = 64 + 288 = 352

Pyramiden har dermed et overflateareal på 352 cm^2.

Avkortet pyramide

En avkortet pyramide er en romgeometrisk figur. En avkortet pyramide er med andre ord en pyramide hvor toppen er fjernet. Det vil si at i stedet for å ende i et punkt, ender pyramiden i en mindre polygon med samme antall sider som grunnflaten. Den avkortete pyramiden nedenfor er en polygon med fire kanter. I eksempelet nederst er det en avkortet pyramide med tre kanter.


Avkortet pyramide med den store grunnflaten (G), den lille grunnflaten (g) og høydelinjen (h) markert.

En avkortet pyramide har dermed en topp og en bunn som vi kaller henholdsvis den store grunnflaten og den lille grunnflaten.

Volum av avkortet pyramide

Volum av avkortet pyramide kan beregnes når man kjenner den store og den lille grunnflaten og høyden, som er lengden av et linjestykke som går vinkelrett fra den store til den lille grunnflaten.

V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left(G + g + \sqrt{G\cdot g} \right )

Formelen for en avkortet pyramides volum ligner formelen for volum av pyramide. Forskjellen er at vi i stedet for å multiplisere med grunnflatearealet multipliserer med den store grunnflatens areal pluss den lille grunnflatens areal pluss kvadratroten av den store grunnflaten multiplisert med den lille grunnflaten.

Eksempel 1

Dette er en avkortet pyramide med en trekant som grunnflate.


Eksempel avkortet pyramide med høyden 11 cm. Den store grunnflaten har en grunnlinje lik 20 cm og høyde lik 13 cm. Den lille grunnflaten har en trekant med grunnlinje på 10 cm og høyde 6 cm.

Vi beregner først den store grunnflaten:

G = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13 = 130

Og deretter den lille grunnflaten:

g = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30

Nå kan vi beregne volumet av den avkortete pyramiden:

V = \frac{1}{3} \cdot 11 \cdot \left(130 + 30 + \sqrt{130 \cdot 30} \right ) = \frac{1}{3} \cdot 11 \cdot \left(160 + 62,45 \right ) = 815,65

Den avkortete pyramiden har derfor et volum på 815,65 cm^3.