Akkurat nå er 61 pålogget.

Renteberegning

Renteberegning er en uhyre viktig disiplin å mestre. Både når du har oppsparte penger/kapital og når du skal ta opp lån. I begge tilfeller har renteberegning stor betydning.

På det du sparer får du nemlig renteinntekter, og på lån får du renteutgifter. Renteberegning er derfor en metode for å undersøke størrelsen på sparebeløpet eller lånet over tid.

Renteberegning kan også beskrive andre utviklinger over tid enn kapitalens.

På denne siden vil det være forskjellige renteberegninger, hvor ulike omskrivninger av renteformelen brukes, og hvor rentes rente inngår.

\(K_n = K_0(1 + r)^n\)

Eksempel 1

Rebecca lurer på om hun skal ta opp et lån, siden hun trenger ny bil. Hun vil gjerne undersøke hvor stort lånet er om \(4\) år. På det tidspunktet regner hun med maksimalt å kunne betjene et lån som totalt koster henne \(200.000\) kroner. 

Banken krever \(4,75 \%\) i årlig rente for et lån i den størrelsen som Rebecca ser for seg. \(r = \frac{4,75 \%}{100 \%} = 0,0475\). 

Hvor mange penger kan Rebecca låne under disse forutstningene?

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n}\)
\(\Downarrow\)
  \(K_0 = \frac{200.000 \; kroner}{(1 + 0,0475)^4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = \frac{200.000 \; kroner}{1,0475^4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 166.116,92 \; kroner.\)

Renteberegningen viser at Rebecca kan kjøpe en bil, som koster opptil \(166.116,92 \; kroner\), hvis hun om \(4\) år bare vil skylde \(200.000 \; kroner\) på billånet inklusive renter.

Eksempel 2

Marie har tidligere arvet \(200.000\) kroner etter sin avdøde bestefar. Hun satte alle pengene i banken for \(8\) år siden. Hennes nåværende formue er på \(238.966,23\) kroner. Hva har renten vært p.a.?

Renteformelen omskrives, siden det er renten r, som skal utregnes.

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = (1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = (1 + r)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} – 1 = r\)

Etter omskrivninger kan de kjente verdiene settes inn i renteformelen:

  \(r =  \sqrt[8]{\frac{238.966,23 \; kroner}{200.000 \; kroner}}  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r =  \sqrt[8]{1,19483115}  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r = 1,022500  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r = 0,022500\)

Renteberegninger viser altså at Marie har fått en årlig rente på \(0,0225 \cdot 100 \% = 2,25 \%\)

Eksempel 3

For mange år siden satte Jessica av et beløp. Da satte hun \(500.000\) kroner i banken og fikk en rente på \(2,75 \%\) p.a. 

\(r = \frac{2,75 \%}{100 \%} = 0,0275\)

Saldo på sparekontoen hennes er i dag \(792.977,97\) kroner. Hvor mange år er det siden Jessica satte den halve millionen i banken?

Renteformelen skal igjen benyttes og omskrives for å kunne regne ut n.

Det betyr at man skal bruke logaritmefunksjonen og kjenne regnereglene for logaritmer. 

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = (1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\log \frac{K_n}{K_0} = \log(1 + r)^n\) 
\(\Updownarrow\)
  \(\log (K_n) - \log (K_0) = n \cdot \log(1 + r)\) (benytt regneregler for logaritmer)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{\log (K_n) - \log (K_0)}{\log(1 + r)} = n\)

Etter omskrivninger kan verdiene settes inn:

  \(n = \frac{\log (792.977,97 \; kroner)  - \log (500.000 \; kroner)}{\log(1 + 0,0275)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n = 16,999999 ≈ 17\)

Med avrunding til to desimaler viser renteberegningen, at Jessica gjorde plasseringen for \(17\) år siden.

Eksempel 4

I 2014 er befolkningstallet i Norge \(5.165.802\). I 2020 regner SSB med at det er \(5.450.106\) nordmenn. Hva er den gjennomsnittlige fremskrivningsfaktoren p.a.?

Da skal man bruke formelen for fremskrivning av kapital, som omskrives slik at \(F\) er de ukjente antall terminer \(n = 7\):

  \(K_n = K_0(F)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\)
\(\Downarrow\)
  \(F = \sqrt[6]{\frac{5.450.106}{5.165.802}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 1,0090\)

Fremskrivningsfaktoren for befolkningsveksten i SSBs prognose er: \(1,0090\) 

Den prosentvise årlige stigningen i befolkningstallet er:

\((1,0090 – 1) \cdot 100 \% = 0,90 \% ≈ 9.0 ‰\)

Eksempel 5

Bensinprisen varierer fra dag til dag, men hvert år beregnes en gjennomsnittspris for bensin, som er middelverdien av prisen i løp av året.

I 1998 var gjennomsnittsprisen for en liter bensin \(9,43\) kroner. I 2012 var gjennomsnittsprisen for en liter bensin \(12,01\) kroner. Antall terminer \(n = 14\):

Hva er fremskrivningsfaktoren?

  \(F = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\)
\(\Downarrow\)
  \(F = \sqrt[14]{\frac{12,01 \; kroner}{9,43 \; kroner}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 1,0174\)

Med en fremskrivningsfaktor på \(1,0174\), svarer det altså til en forventet gjennomsnittlig stigning i bensinprisen hvert år:

\((1,0174 – 1) \cdot 100 \% = 1,74 \%\)

Under de samme forutsetninger, nemlig at stigningen er gjennomsnittlig, hva var prisen på bensin i 1987?

Man kan bruke både 1998 og 2012 som \(K_n\). Her velges først \(K_n\) = 1998, og dermed er \(n = 11\)

  \(K_n = K_0 \cdot F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{F^n} = K_0\)
\(\Downarrow\)
  \(K_0 = \frac{9,43 \; kroner}{1,0174^{11}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 7,7981 \; kroner ≈ 7,80 \; kroner.\)

Med 2012 som \(K_n\) er \(n = 25\):

  \(K_0 = \frac{12,01 \; kroner}{1,0174^{25}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 7,7981 \; kroner ≈ 7,80 \; kroner.\)

Hvis man i sin renteberegning forutsetter at bensinprisen har steget likt hvert år, vil denne fremskrivningsfaktoren resultere i at gjennomsnittsprisen for bensin i 1988 var \(7,80\) kroner pr. liter.