Akkurat nå er 144 pålogget.

Renters rente

Renters rente, som også ofte skrives rentesrente, er en del av renteregning. Uttrykket kan kanskje høres skremmende ut, men det er egentlig ikke så komplisert.

Renters rente betyr rett og slett at kapital forrentes flere ganger, og at man må betale eller får renter av rentene. Når rente legges til saldoen på et innskudd eller lån, legges forfalte renter til det opprinnelige lånet eller innskuddet. Derfor blir det totale beløpet renten beregnes for ved neste termin større.

Navnet kommer av at man ikke bare beregner renter av den opprinnelige gjelden eller innskuddet, men at man etter første termin også beregner renter av ubetalte eller opptjente renter. 

La oss begynne med et enkelt eksempel:

Hvis man har et innskudd på 100 kr. med en rente på 10% p.a., utgjør renten for ett år 1:

\frac{100 \; kr.}{100 \%} \cdot 10 \% = 10 kr.

Etter et år legger man til de opptjente rentene, som utgjør 10 kr. Den gamle saldoen pluss opptjente renter gir da en ny saldo etter ett år 1:

100 kr. + 10 kr.  = 110 kr.

Innskuddets størrelse, som man får 10% i rente p.a. på, er nå 110 kr.

Det vil si at man etter år 2 får tillagt en rente på:

\frac{110 \; kr.}{100 \%} \cdot 10 \% = 11 kr.

Samlet innskudd etter år 2:

110 kr. + 11 kr. = 121 kr.

Etter det første året får man tillagt en rente på 10 kr., og etter det andre året får man tillagt en rente på 11 kr.

Den ekstra 1-kronen det andre året utgjør renters rente.

Renters rente formel

Formelen man bruker for å beskrive renters rente kalles renteformelen. Den ser slik ut:

K_n = K_0(1 + r)^n

Logikken er at man skal legge til renten r til den opprinnelige mengde kapital på starttidspunktet K0 for derved å kunne regne ut kapitalens størrelse Kn i n antall terminer.

(1 + r) betegnes også som fremskrivningsfaktoren.

For noen kan det være enklere å forstå hvis eksempelet ovenfor stilles opp slik:

K_2 = 100(1 + 0,10)(1 + 0,10) \Leftrightarrow K_2 = 121

Etter 2 terminer (år) skal beløpet 100 kr. ganges med beløpet pluss renten på 10% i alt 2 ganger.

I et annet eksempel er kapitalens samlede størrelse etter 4 terminer (K4) lik kapitalen på starttidspunktet (K0) ganget med seg selv (1) pluss renten (r) i alt 4 ganger.

K_4 = K_0(1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)

Som det fremgår av formelen for renters rente, kan (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) også skrives som (1 + r)4.

Renters rente benyttes primært til å beskrive størrelse på kapital og tilvekst (eksempel 1 og 2). Men den kan også beskrive mange andre ting som vokser eksponentielt, som for eksempel en bakteriekultur (eksempel 3).

Renters rente er også viktig i forbindelse med kapitalisering (se artikkelen Rente) og antall terminer. Vi skal se nærmere på dette i eksempel 4, hvor vi viser en beregning av påløpte renter.

I artikkelen Renteregning kan du finne omskrivninger av renteformelen og se eksempler på de fire variantene av formelen og tilhørende utregninger.

Eksempel 1

Sara arvet 40.000 kr. etter bestemoren sin. Bestemoren døde da Sara var 4 år. Saras mor bestemte at pengene skulle spares til Sara var ferdig med videregående skole.

Saras mor satte pengene i banken, og Sara fikk 1,75% i årlig rente. r = \frac{1,75 \%}{100 \%} = 0,0175

Pengene ble stående på kontoen i 14 år før Sara kunne ta dem ut. Hvor mange penger kunne Sara ta ut?

K_n = 40.000 \; kr. (1 + 0,0175)^{14} \Leftrightarrow K_n = 50.996,67 \; kr.

Dermed har Saras oppsparing vokst fra 40.000 kr. til litt under 51.000 kr. på 14 år.

Eksempel 2

Sofia lurer på om hun skal ta opp studielån. Sofias studier starter 1. februar, og hun vurderer å låne penger frem til jul det første år. Deretter satser hun på å finne en deltidsjobb.

Sofia vet at hun ikke får råd til å betale avdrag på lånet før hun er ferdig med å studere. Renten på studielån er 4% p.a. i de årene hun fortsatt studerer (r = 0,04).

Sofia har bestemt seg for at hun maksimalt vil ha en gjeld på 40.000 kr. når hun er ferdig med å studere om \(5\) år. Hvor mange penger kan Sofia låne hvis man tar med i beregningen at renter legges til saldoen én gang pr. år, og at hun må betale renters rente?

K_n = K_0(1 + r)^n \Leftrightarrow K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n} \break \Downarrow \break K_0 = \frac{40.000 \; kr.}{(1 + 0,04)^5} \Leftrightarrow K_0 = 32.877,08 \; kr.

Dermed kan Sofia regne seg frem til at, hvis hun maksimalt vil ha en gjeld på 40.000 kr. om 5 år, så kan hun det første året låne 32.877,08 kr.

I det første studieåret er det i alt 11 studiemåneder. Størrelsen på studielån hun har mulighet til å ta opp er 2.943 kr. pr. måned, og utbetaling av lånet skjer hver måned.

Kan Sofia få studielån utbetalt for alle de 11 månedene?

11 \cdot 2.943 \; kr. = 32.373 \; kr.

Ja, det beløpet Sofia har mulighet for å låne overstiger ikke det hun ønsker å låne.

Hvor mye kommer Sofia til å ha i gjeld om 5 år hvis hun tar opp et lån med månedlige utbetalinger på 2.943 kr. i 11 måneder?

K_n = 32.373 \; kr. \cdot (1 + 0,04)^5 \Leftrightarrow K_n = 39.386,70 \; kr.

Hvis Sofia tar opp studielån i 11 måneder det første året, vil hun om 5 år ha en gjeld på 39.386,70 kr.

Eksempel 3

Benjamin observerer en bakteriekultur over en periode på 48 timer. I begynnelsen er størrelsen på kulturen 3000 bakterier pr. \(cm^2\). Hver time vokser kulturen med 12%, det vil si r = 0,12.

Hvor stor er bakteriekulturen på slutten av de to døgnene observasjonen gjennomføres over?

K_n = 3000 (1 + 0,12)^{48} \Leftrightarrow K_n = 691.172,33

Det vil si at bakteriekulturen har vokst fra 3.000 til mer enn 690.000 bakterier pr. cm2 på bare to døgn.

Eksempel 4

Alex skal kjøpe en ny bil og vil derfor låne 195.000 kr. i banken. Alex kontakter tre forskjellige banker. Kapitalisering, det vil si antall ganger ubetalte renter blir lagt til saldoen, varierer fra bank til bank.

I bank 1 må han betale 1% i rente pr. kvartal (r = 0,01 pr. termin).

I bank 2 må han betale 2% i rente pr. halvår (r = 0,02 pr. termin).

I bank 3 må han betale 4% i rente pr. år (r = 0,04).

Alex vil ta opp et 10-årig lån. Spiller det noen rolle hvilken bank Alex velger?

Bank 1:

Når kapitalisering skjer hvert kvartal, er det 4 terminer i et år. I 10 år er det: 4 * 10 = 40 terminer.

K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,01)^{40} \Leftrightarrow K_n = 290.328,43 \; kr.

Bank 2:

Ved kapitalisering hvert halvår, er det 2 terminer i et år. I 10 år er det: 2 * 10 = 20 terminer.

K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,02)^{20} \Leftrightarrow K_n = 289.759,74 \; kr.

Bank 3:

Kapitalisering foretas en gang i året. 10 år = 10 terminer.

K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,04)^{10} \Leftrightarrow K_n = 288.647,64 \; kr.

For å få det billigste lånet bør Alex velge bank 3. Grunnen til at bank 3 er billigst, selv om rentefoten tilsynelatende er den samme, er at kapitaliseringen er minst hyppig. Derfor blir renters rente mindre.