Akkurat nå er 138 pålogget.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er et viktig begrep for å forstå hvordan man gjør trigonometriske utregninger. Enhetssirkelen er utgangspunktet for å definere de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens. Forstår man enhetssirkelen er det enklere å forstå utregninger med sinus, cosinus og tangens.

Det kalles enhetssirkelen fordi radiusen er 1.

I et koordinatsystem tegnes enhetssirkelen med sentrum i nullpunktet (0,0), også kalt origo.

Enhetssirkelen er derfor en helt spesiel sirkel fordi alle punktene på sirkelen har en avstand på 1 til origo/sentrum. I en sirkel er vinkelsummen 360 grader.

Når man tegner inn punkter på enhetssirkelen, også kalt retningspunkt, dannes det en vinkel (mot uret) mellom x-aksen og den linjen som tegnes ut til retningspunktet fra origo. Denne vinkelen kalles retningsvinkelen.

En annen måte å si det samme på er at den linjen man kan tegne mellom et vilkårlig punkt og origo danner en vinkel med x aksen som har koordinatene (x,y). Det spesielle er at dette punktet på enhetssirkelen kan defineres som (cosv, sinv).

Grafisk tegnes den sånn:

x y 1 cos (v) sin (v) v tan (v) y x
Enhetssirkelen med radius 1 og vinkelen v tegnet. Samtidig er sinus, cosinus og tangens til vinkelen v markert.

Når (\(x,y\)) er koordinatet til retningspunktet gjelder følgende:

\(cos(v) = x\)

Når man tegner inn et vilkårlig retningspunkt på enhetssirkelen er cosinus til vinkel v tilsvarende til x-koordinatet for retningspunktet. I tillegg gjelder følgende:

\(sin(v) = y\)

Tegnes det inn et vilkårlig retningspunkt på enhetssirkelen er sinus til vinkel v tilsvarende til y-koordinatet for retningspunktet.

Et retningspunkt på enhetssirkelen har derfor koordinatene \(cos v, sin v\).

Tangens defineres som:

\(tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\)

Ut fra enhetssirkelen finnes tanges ved å tegne en rett linje gjennom punktet (1,0), også kalt en loddrett tangent. Samtidig forlenges retningslinjen gjennom retningspunktet og der retningslinjen skjærer den loddrette tangenten finnes punktet \((1, tan v)\).

Areal og omkrets av enhetssirkelen

Samtidig kan man enkelt bestemme areal og omkrets av enhetssirkelen fordi radius er lik 1.

Når vi kjenner formlene for arealet av en sirkel, \(\pi \cdot r^2\), og for omkretsen: \(2 \cdot \pi \cdot r\).

Enhetssirkelens areal: \(\pi\)

Enhetssirkelens omkrets: \(2 \cdot \pi\)

Idiotformelen

Når man lar radius på 1 være hypotenusen i en rettvinklet trekant med linjen y og x-aksen får man ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

\(x^2 + y^2 = 1\)

Med basis i enhetssirkelen gjelder grunnrelasjonen, også kalt idiotformelen:

\(cos^2(v) + sin^2 (v) = 1\)

Les mer om sinus, cosinus og tangens i de følgende artiklene for å forstå enhetssirkelens betydning til det fulle.