Akkurat nå er 311 pålogget.

Cosinussetningen

Cosinussetningene beskriver sammenhengen mellom vinkler og sider i alle trekanter.

I motsetning til sinus, cosinus og tangens som kun benyttes i beregning av rettvinklede trekanter gjelder cosinussetningen i alle trekanter.

Som utgangspunkt kan alle tre vinkler og sider beregnes, men man skal ha minimum tre opplysninger for å kunne beregne de resterende vinklene og sidene med hjelp av cosinussetningene. Enten alle tre sider, eller en vinkel og de to hosliggende sidene.

I trigonometriske utregninger med cosinussetningen er det viktig at vinkler og sider er paret riktig sammen. En vinkel er alltid paret med den motstående siden, slik at motsatt av vinkel A ligger side a osv.

A B C c a b
En vilkårlig trekant og de vinklene og motstående sidene som parres sammen.

Varianter av cosinussetningen

Det finnes 6 varianter av cosinussetningene, en for hver ukjente vinkel eller side:

Cosinussetning for \(\angle A:\)                     \(cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)

Cosinussetning for \(\angle B:\)                     \(cos (B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)

Cosinussetning for \(\angle C:\)                     \(cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

Cosinussetning for sidestykke \(a:\)     \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\)

Cosinussetning for sidestykke \(b:\)     \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\)

Cosinussetning for sidestykke \(c:\)     \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\)

Eksempel 1

I en trekant ABC kjenner man de følgende målene:

\(\angle B\) er \(28°\), side \(a\) er \(8,2\) cm og side \(c\) er \(9,4\) cm.

Regn ut lengden på sidestykket b med to desimaler?

Cosinussetningen for sidestykke \(b:\)

 \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\)
\(\Downarrow\)
  \(b^2 = 8,2^2 + 9,4^2 - 2 \cdot 8,2 \cdot 9,4 \cdot \cos(28)\)
\(\Updownarrow\)
  \(b^2 = 19,48479908\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = 4,414158933\)

Sidelengden på linjestykket \(b\) er \(4,41\) cm.

Eksempel 2

I trekant DEF kjenner man de følgende målene:

Side \(d\) er \(49\) cm, side \(e\) er \(74\) cm og side \(f\) er \(60\) cm.

Regn ut vinklene D og E ved hjelp av cosinussetningene og finn deretter vinkel F ved hjelp av en trekants vinkelsum (med to desimaler)?

Cosinusrelasjon for \(\angle D:\)                  

  \(cos (D) = \frac{e^2 + f^2 - d^2}{2ef}\)
\(\Downarrow\)
  \(cos (D) = \frac{74^2 + 60^2 - 49^2}{2 \cdot 74 \cdot 60}\)

\(\Updownarrow\)
  \(cos (D) = 0,751689189\)
\(\Updownarrow\)

  \(D = \cos^{-1}(0,751689189)\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 41,26\)

Dermed er \(\angle D = 41,26°\)

Cosinusrelasjon for \(\angle E:\)

  \(cos (E) = \frac{d^2 + f^2 - e^2}{2df}\)
\(\Downarrow\)
  \(cos (E) = \frac{49^2 + 60^2 - 74^2}{2 \cdot 49 \cdot 60}\)
\(\Updownarrow\)
  \(cos (E) = 0,089285714\)
\(\Updownarrow\)
  \(E = \cos^{-1}(0,089285714)\)
\(\Updownarrow\)
  \(E = 84,88\)

Dermed er \(\angle E = 84,88°\)

 Vinkel F kan beregnes:

\(\angle F = 180° - 41,26° - 84,88° ⇔ \angle F = 53,86°\)

Avhengig av hvilken opplysninger man har skal man velge de cosinussetningene som passer til den utregningen du skal gjøre. I de tilfellene hvor man ikke har tilstrekkelig informasjon til å bruke cosinussetningenene skal man som oftest bruke sinussetningene. Samtidig skal man være oppmerksom på at vinkelsummen er 180 grader. Vet du størrelsen på to av vinklene får du den tredje ved enkel utregning.

Utover det kan man komme ut for et tilfelle der man kun vet størrelsen på alle vinklene men ingen sider, da man kan ikke bruke verken sinus- eller cosinussetningene og man får dermed ikke bestemt sidelengdene. For alle trigonometriske beregninger må man kjenne minst en side.

Se kapittelet om trekantsberegning for en overskuelig oversikt over hvilke utregninger man må foreta avhengig av hvilke sider og vinkler man får informasjon om, og hvilke tilfeller man kan bruke cosinussetningene.